Question

Cho tam giác ABC đều. Trên tia dối của tia BA lấy B' trên tia đối của tia CB lấy C' và trên tia đối của tia AC lấy A' sao cho AA' = BB' = CC'

- CMR: Tam giác A'B'C' đều

- Gọi M; N; P lần lượt là giao của BA với A'C' ; CB với A'B' ; AC với B'C' . CMR: Tam giác MNP đều

Answer 1

a) Góc B'BC + CBA = 180^o ( do kề bù) 

góc C'CA + ACB = 180^o ( do kề bù) Mà góc CBA = ACB ( do tam, giác ABC đều)

=> góc  B'BC = C'CA 

ta có: BC' = BC + CC'; CA' = CA + AA' mà CC' = AA' => BC' = CA'

+) Xét tam giác B'BC' và C'CA' có: B'B = C'C ; góc B'BC' = C'CA'; BC' = CA'

=> tam giác B'CC' = C'CA' ( c - g - c)

=> B'C' = C'A'

+) tương tự, tam giác C'CA' = A'AB' ( c - g - c) => C'A' = A'B'

=> B'C' = C'A' = A'B' => tam giác A'B'C' đều

b) Góc A'CB là góc ngoài của tam giác A'CC' => góc A'CB = góc CA'C' + A'C'C = 60^o

Mà góc A'C'C + CC'B' = góc A'C'B' = 60^o nên góc CA'C' = CC'B'

+) Xét tam giác AA'P và C'CM có: góc A'AP = C'CM ( = 60^o ) ;  AA' = CC' ; góc AA'P = CC'M';

=> tam giác AA'P = CC'M ( g -c - g)

=>  A'P = C'M mà A'C' = B'C' => PC' = MB'

Tương tự, ta có: B'N = C'M => A'N = B'M = C'P

Khi đó, dễ có  tam giác NB'M = MC'P ( c - g - c) => MN = MP

tương tự, MP = NP

=> MN = NP = MP => tam giác MNP đều