Question

cho tam giác ABC có góc C=90 độ góc A = 60 do. Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở E Kẻ ek vuông góc AB k thuoc ab ke bd vuong goc tia ae d thuoc ae 

CMR 

AC,BD,CK cung di qua 1 diem

Answer 1

Tớ vẽ cái hình để tiện nghĩ:v

Answer 2

Gọi giao điểm của AC với DB là H.

Xét tam giác AEB có:\(\hept{\begin{cases}\widehat{EAB}=\frac{60^0}{2}=30^0\\\widehat{EBA}=180^0-60^0-90^0=30^0\end{cases}\Rightarrow}\widehat{EAB}=\widehat{EBA}\Rightarrow\Delta AEB\)  cân tại E.

Do EK là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến suy ra AK=BK.

Ta có:\(\widehat{CEA}=180^0-\widehat{ACE}-\widehat{CAE}=180^0-90^0-30^0=60^0\)

Xét tam giác AEC và tam giác AEK có:AE là cạnh chung,^CAE=^KAE(có AE là phân giác) \(\Rightarrow\Delta AEC=\Delta AEK\left(ch-gn\right)\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{KEA}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{CEH}=180^0-\widehat{CEA}-\widehat{KEA}=180^0-60^0-60^0=60^0\Rightarrow\widehat{AEH}=120^0\)

Mặt khác:\(\widehat{AEB}=180^0-\widehat{CEA}=180^0-60^0=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{AEH}\)

Khi đó:\(\Delta EAH=\Delta EAB\left(g-c-g\right)\Rightarrow HA=HB\)

Mà \(\widehat{CAB}=60^0\Rightarrow\Delta AHB\) đều.

Lại có HK là đường trung tuyến(do KA=KB) nên HK là đường cao hay  \(HK\perp AB\).Mà \(EK\perp AB\) nên H,E,K thẳng hàng hay AC,BD,EK cùng đi qua một điểm.

Answer 3

1. ΔABE = ΔHBE

Xét ΔABE và ΔHBE, ta có :

 (gt)

( BE là đường phân giác BE).

BE là cạnh chung.

=> ΔABE = ΔHBE

2. BE là đường trung trực của AH :

BA =BH và EA = EH (ΔABE = ΔHBE)

=> BE là đường trung trực của AH .

3. EK = EC

Xét ΔKAE và ΔCHE, ta có :

 (gt)

EA = EH (cmt)

( đối đỉnh).

=> ΔKAE và ΔCHE

=> EK = EC

4. EC > AC

Xét ΔKAE vuông tại A, ta có :

KE > AE (KE là cạnh huyền)

Mà : EK = EC (cmt)

=> EC > AC.