Question

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác. Từ các đỉnh A,B,C và trọng tâm G ta kẻ các đoạn \(AA^,,BB^,,CC^,\)và \(GG^,\)vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh hệ thức \(AA^,+BB^,+CC^,=3GG^,\)

Answer 1

Gọi M,N lần lượt là trung điểm GC, AB và M', N' lần lượt là hình chiếu của M và N trên d.

Ta có G là trọng tâm của ΔABCΔABC nên ⇒GM=MC=NG⇒GM=MC=NG

Từ hình thang GG'CC': GM=MC ,MM′//GG′(⊥d)

Do đó MM′ là đường trung bình của hình thang GG′CC′

⇒2MM′=GG′+CC′   1

Tương tự với hình thang BB′AA′ ta được 2NN′=BB′+AA′(2)

và hình thang NN′M′M được 2GG′=NN′+MM′   3

Từ (1),(2),(3) ta được

⇔4GG′−GG′=CC′+BB′+AA′

⇔3GG′=CC′+BB′+AA′(đpcm)