Question

cho tam giác ABC có đường cao AK và BD cắt nhau tại G, vẽ các đường trung trực HE, HF của các cạnh AC, BC. Đường thẳng qua A song song với BG cắt đường thẳng qua B song song với AK tại I. Chứng minh:

a) BG=AI

b) BG=2HE

c) AG=2HF

Answer 1

a) AIBG là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song)

=> BG = AI

b) Lấy T là trung điểm của CG. Vì F là trung điểm của BC => FT là đườn trung bình của tam giác CBG => FT // BG, FT = 1/2 BG.

Mà BG vuông góc với AC => FT vuông góc với AC => FT // HE   (1)  (vì cùng vuông góc với AC)

Tương tự, ET là đường trung bình của tam giác CGA => ET // AG. Mà AG vuông góc với BC => ET vuông góc với BC => ET // HF (2) (vì cùng vuông góc với BC)

Từ (1) và (2) suy ra HFTE là hình bình hành => HE = FT. Mà FT = 1/2 BG => HE = 1/2 BG (dpcm)

c) Lấy M trung điểm của AB, do các đường trung trực đồng qui => MH vuông góc với AB. 

Lấy N là trung điểm của BG. Chứng minh tương tự câu b)

Answer 2

a) 

Ta có AG // BI (cùng vuông góc với BC)

BG // AI (cùng vuông góc với AC)

=>Tứ giác AIBG là hình bình hành => BG = AI 

b)c) C/m Tương tự nhau

Chứng minh ý c) 

Lấy M: N là trung điểm của AB; BG  => HM là đường trung trực của AB

+) Xét tam giác BGC có: F; N là trung điểm của BC; BG => FN là đường trung bình của tam giác => FN // CG mà CG // HM (do  cùng vuông góc với AB) => FN // HM 

+) Xét tam giác ABG có: M; N là trung điểm của AB; BG => MN là đường trung bình của tam giác => MN // AG ; AG // HF => MN // HF

=> Tứ giác HFNM là hình bình hành => MN = HF mà MN = AG/ 2 (do MN là đuơng trung bình của tam giác ABG) 

nên HF = AG /2 hay AG = 2.HF