Question

Cho tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CL, trực tâm I. Chứng minh: \(\frac{IH}{AH}+\frac{IK}{BK}+\frac{IL}{CL}=1\)

Answer 1

Xét hai tam giác \(IBC,ABC\) có chung đáy, các đường cao \(IH,AH\)  do đó \(\frac{S\left(IBC\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IH}{AH}.\) Tương tự ta có \(\frac{S\left(ICA\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IK}{BK},\frac{S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IL}{BL}\). CỘNG các đẳng thức lại ta suy ra \(\frac{IK}{BK}+\frac{IL}{BL}+\frac{IH}{AH}=\frac{S\left(IBC\right)}{S\left(ABC\right)}+\frac{S\left(ICA\right)}{S\left(ABC\right)}+\frac{S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{S\left(IBC\right)+S\left(ICA\right)+S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=1.\)    (đpcm)