Question

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ đỉnh A,B,C lần lượt là \(l_a,l_b,l_c\). Chứng minh rằng :   \(\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Answer 1

Sai chỗ nào tự sửa nha :)))

Answer 2

Bài này hình như trong sách nào mà t quên ròi, ai nhớ nhắc với

Answer 3

file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/%C4%90%E1%BA%A1i%20S%E1%BB%91%20-%20H%C3%ACnh%20H%E1%BB%8Dc%20L%E1%BB%9Bp%208,9/%C4%90%E1%BB%81%20thi%20hsg%20to%C3%A1n%208/De%20thi%20chon%20HSG.pdf

Answer 4

Gọi AD là đường phân giác trong \(\widehat{A}\), qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M

Ta có \(\widehat{BAD}=\widehat{AMC}\)(2 góc ở vị trí động vị)

\(\widehat{DAC}=\widehat{ACM}\)(2 góc ở vị trí so le trong)

Mà \(\widehat{BAD}=\widehat{DAC}\)nên \(\widehat{AMC}=\widehat{ACM}\)hay \(\Delta\)ACM cân tại A => AM=AC=b

Do AD//CM nên \(\frac{AD}{CM}=\frac{BA}{BM}=\frac{c}{b+c}\)

Mà CM<AM+AC=2b

=> \(\frac{c}{c+b}>\frac{AD}{2b}=\frac{1}{l_a}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{l_b}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{b}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng (1)(2)(3) theo vế ta có đpcm