Cho tam giác ABC có AB = AC.Tia phân giác Am của góc BAC cắt BD tại D. Gọi H, K tương ứng là chân đường vuông góc của D xuống AB, AC.
Chứng minh AD \(\perp\)BC và D là trung điểm cạnh BC. Chứng minh DH = DK và AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK. Giả sử \(\widehat{BAC}\) = 4B, tính \(\widehat{BAD}\).
| GT | △ABC: AB = AC, Am ∩ BC = {D} ; BAD = DAC = BAC/2 . HD ⊥ AB. DK ⊥ AC. BAC = 4B |
| KL | 1, AD ⊥ BC ; DB = DC 2, DH = DK ; AD là đường trung trực HK. 3. BAD = ? |
Bg:
1, Xét △BAD và △CAD
Có: AB = AC (gt)
BAD = DAC (gt)
AD là cạnh chung
=> △BAD = △CAD (c.g.c)
=> ADB = CDA (2 góc tương ứng)
Ta có: ADB + CDA = 180o (2 góc kề bù)
=> ADB = CDA = 180o/2 = 90o
=> AD ⊥ BC
Vì △BAD = △CAD (cmt)
=> DB = CD (2 cạnh tương ứng)
Mà D nằm giữa B, C
=> D là trung điểm của BC
2, Xét △HAD vuông tại H và △KAD vuông tại K
Có: AD là cạnh chung
HAD = DAK (gt)
=> △HAD = △KAD (ch-gn)
=> DH = DK (2 cạnh tương ứng)
và AH = AK (2 cạnh tương ứng)
=> A và D cách đều 2 mút H, K của đoạn thẳng HK
=> A, D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng HK hay AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK (định lí 2)
3, Vì Am là tia phân giác của BAC
=> 2BAD = 2DAC = BAC = 4B
Ta có: BAC = 4B => BAC/4 = B
Xét △BAD vuông tại D
Có: BAD + ABD = 90o (tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}+\frac{\widehat{BAC}}{4}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAD}+\frac{2\widehat{BAD}}{4}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAD}+\frac{\widehat{BAD}}{2}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAD}\left(1+\frac{1}{2}\right)=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAD}.\frac{3}{2}=90^o\)\(\Rightarrow\widehat{BAD}=60^o\)
