Question

Cho tam giác ABC có AB < AC ; 3 đường cao AD, BE, CF giao nhau tại H.

a) cm : tam giác AFH ~ ADB

b) BH * HE = CH * HF

c) tam giác AEF ~ ABC

p/s: 3 câu này mình đã làm được, chỉ còn ý d thôi ạ!

d) I là trung điểm của BC, qua H kẻ đường thẳng vuông gọc với HI cắt AB = M; AC = N. Chứng minh MH = HN

Thanks!

Answer 1

Bài làm:

Ta có: \(\widehat{MAH}=\widehat{HCI}=90^0-\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Lại có: \(\widehat{MHA}=180^0-\widehat{MHD}=180^0-\left(90^0-\widehat{DHI}\right)=90^0+\widehat{DHI}=\widehat{HIC}\left(2\right)\)

Nên \(\Delta AHM~\Delta CIH\left(g.g\right)\)vì:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MAH}=\widehat{HCI}\left(theo\left(1\right)\right)\\\widehat{MHA}=\widehat{HIC}\left(theo\left(2\right)\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{MH}{HI}=\frac{AH}{IC}=\frac{AH}{IB}\left(3\right)\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\Delta BHI~\Delta ANH\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HN}{HI}=\frac{AH}{IB}=\frac{AH}{IC}\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right),\left(4\right)\)\(\Rightarrow\frac{MH}{HI}=\frac{HN}{HI}\Rightarrow MH=HN\)