Question

Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC. I là giao điểm các đường phân giác trong, G là trọng tâm. Chứng minh rằng:

a, Diện tích tam giác ABC gấp 3 lần diện tích tam giác BIC.

b, IG//BC

Answer 1

a) Gọi IP, IQ, IS lần lượt là khoảng cách từ I đến BC, CA, AB => IP = IQ = IS

Ta có S_ABC = S_BIC +S_AIC +S_AIB = 1/2.IP.BC +1/2.IQ.AC +1/2.IS.AB =1/2.IP(BC +CA +AB) = 1/2.IP.3BC( vì AB + AC = 2BC) = 3S_BIC

b) Gọi D, M lần lượt là giao điểm của AI, AG với BC.

Trong tam giác ABC có AD là phân giác => \(\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DB}=\frac{AB+AC}{DC+DB}=\frac{AB+AC}{BC}=2\)2

Trong tam giác ABD có BI là phân giác => \(\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{DB}=2\)

Mặt khác do G là trọng tâm tg ABC => \(\frac{AG}{GM}=2\)

=> \(\frac{AI}{ID}=\frac{AG}{GM}\)=> IG //BC (Talet đảo)