Question

Cho tam giac ABC có AB  = 6, AC = 8. Đường trung tuyến BD vuông góc với trung tuyến CE. Tính BC

Answer 1

Gọi H là giao điểm 2 đường trung tuyến BD và CE

=> H là trọng tâm trong tam giác ABC (vì là giao điểm 2 đường trung tuyến)

Ta có: BE = 3 ,  CD = 4

Áp dụng Py-ta -go ta được:

DH² + CH² = CD² = 4² = 16 (1)

EH² + BH² = BE² = 3² = 9   (2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: DH² + CH² + EH² + BH² = 16 + 9 = 25

mà \(HD=\frac{1}{2}HB;HE=\frac{1}{2}HC\) nên : \(\frac{HB^2}{4}+HC^2+\frac{HC^2}{4}+HB^2=25\)

\(\Rightarrow\frac{5}{4}HB^2+\frac{5}{4}HC^2=25\Rightarrow HB^2+HC^2=20\)

    Hay BC² = 20 (vì HB² + HC² = BC²) => BC = \(2\sqrt{5}\)

                               Vậy \(BC=2\sqrt{5}\)