Question

cho tam giác ABC có 3 góc nhọn trực tâm H

Chứng minh : 2(AB+AC+BC) >3(HA+HB+HC)

Answer 1

Từ trực tâm H kẻ HD//AB, HE//AC (E thuộc AB, D thuộc AC)

HE//AC. Mà BH vuông góc với AC => BH vuông góc với HE (Quan hệ song song vuông góc)

=> HB<EB (Quan hệ đường xiên, đường vuông góc) (1)

HE//AD, HD//AE => HE=AD, HD=AE (Tính chất đoạn chắn)

Ta có: HA<AD+HD (BĐT tam giác). Thay HD=AE vào biểu thức bên: HA<AD+AE (2)

Tương tự: HD//AB, CH vuông góc với AB => CH vuông góc với HD

=> HC<DC (Đường xiên, đường vuông góc) (3)

Từ (1), (2) và (3) => HA+HB+HC<EB+AD+AE+DC => HA+HB+HC<(EB+AE)+(AD+DC)

                           => HA+HB+HC<AB+AC.  (4)

Tương tự bạn giải ra: HA+HB+HC<AB+BC   (5) 

                                HA+HB+HC<AC+BC   (6)

Từ (4),(5) và (6) => 3(HA+HB+HC)<(AB+AC)+(AB+BC)+(AC+BC) (Cộng vế với vế)

                       => 3(HA+HB+HC)<2AB+2AC+2BC => 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)

                        hay 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC) (đpcm) 

**** nha!!!

Answer 2

Vì AB+AC+BC > HA+HB+HC

mà 2(AB+AC+BC) >4(HA+HB+HC)

=> 2(AB+AC+BC)>3(HA+HB+HC)