Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BC\)không chứa \(A\)lấy tia \(Cx\)sao cho \(\widehat{BAD}=\widehat{BCx}\).
Kéo dài \(AD\)cắt \(Cx\)tại \(E\).
Xét \(\Delta DAB\)và \(\Delta DCE\)có:
\(\widehat{ADB}=\widehat{CDE}\)(vì đối đỉnh).
\(\widehat{BAD}=\widehat{BCE}\)(hình vẽ trên).
\(\Rightarrow\Delta DAB~\Delta DCE\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CED}\)(2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{CEA}\)
Và \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.DE=BD.CD\)\(\left(1\right)\).
Xét \(\Delta BAD\)và \(\Delta EAC\)có:
\(\widehat{BAD}=\widehat{EAC}\)(giả thiết).
\(\widehat{ABD}=\widehat{AEC}\)(chứng minh trên).
\(\Rightarrow\Delta BAD~\Delta EAC\left(g.g\right)\).
\(\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AE}\)(tỉ số đồng dạng).
\(\Rightarrow AD.AE=AB.AC\)\(\left(2\right)\).
Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\).
\(\Rightarrow AD.AE-AD.DE=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD\left(AE-DE\right)=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD.AD=AB.AC-BD.CD\).
\(\Rightarrow AD^2=AB.AC-BD.CD\)(điều phải chứng minh).
