Question

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Lấy D bất kì trên cạnh CA, trên cung nhỏ CD của đường tròn (BDC) lấy K (K khác D,C). Đường thẳng qua A song song với BC cắt CK tại E. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng \(\widehat{MAD}=\widehat{AKE}\).

Answer 1

Gọi đường tròn đó cắt cạnh AB tại G khác B. Vì \(\Delta\)ABC cân tại A nên GD // BC.

Dựng hình bình hành AEFD. Khi đó DF // AE // BC. Suy ra F,D,G thẳng hàng, từ đây ^KDF = ^KBG (1)

Ta có ^DBK = ^DCK = ^ECA và ^DKB = ^DCB = ^EAC, suy ra \(\Delta\)BKD ~ \(\Delta\)CAE (g.g)

Suy ra \(\frac{KD}{DF}=\frac{KD}{AE}=\frac{KB}{AC}=\frac{KB}{BA}\), kết hợp với (1) ta được \(\Delta\)DKF ~ \(\Delta\)BKA (c.g.c)

Từ đó \(\Delta\)KFA ~ \(\Delta\)KDB (c.g.c). Do vậy ^KAF = ^KBD = ^KCD = ^KEF

Suy ra ^AKE = ^AFE = ^DAF = ^MAD (Vì A,M,F thẳng hàng) (đpcm).