Cho tam giác ABC cân tại A ( \(\widehat{A}< 90^0\)) , vẽ \(BD\perp AC\) và \(CE\perp AB\). Gọi H là giao điểm của BD và CE
a) Chứng minh : tam giác ABD = tam giác ACE
b) Chứng minh : tam giác AED cân
c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED
d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB . Chứng minh \(\widehat{ECB}=\widehat{DKC}\)
a) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACE\)có:
\(\widehat{A}:chung\)
\(\Delta ABC\)cân => AB = AC ( ĐL )
\(\widehat{ADB}=\widehat{ACE}=90^0\)(gt)
=> \(\Delta ABD=\Delta ACE\) ( cạnh huyền - góc nhọn ) ( ĐPCM ) (1)
b) Từ ( 1 ) => AE = AD ( 2 cạnh tương ứng )
nên \(\Delta AED\)là tam giác cân ( ĐPCM )
a) Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACE\)có:
\(\hept{\begin{cases}\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0\\AB=AC\left(gt\right)\\\widehat{BAC}chung\end{cases}\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(ch-gn\right)}\)
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AE=AD\left(2canht.ung\right)\)
\(\Rightarrow\Delta AED\)cân
c) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left(2goct.ung\right)\) ( 1)
Vì \(\Delta ABC\)cân tại A ( gt)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(tc\right)\) (2)
Ta có: \(\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=\widehat{ABC}\left(h.ve\right)\)(3)
\(\widehat{ACE}+\widehat{ECB}=\widehat{ACB}\left(h.ve\right)\)(4)
Từ (1) , (2) , (3) , (4) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)
\(\Rightarrow\Delta HBC\)cân tại H
\(\Rightarrow HB=HC\left(đn\right)\)
Cm \(\Delta ABH=\Delta ACH\left(c-g-c\right)\)
Cm AH là tia pg của góc EAD mà tam giác AED cân (cmt) nên AH là trung trực của ED.
