Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn tâm O thuộc cạnh BC và tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi I là điểm chuyển động trên cung nhỏ DE ( I khác D, E). Tiếp tuyến của đường tròn tại I cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N.
a. Chứng minh rằng: chu vi tam giác AMN không đổi
b. Chứng minh: \(BC^2=4BM.CN\)
c. Xác định vị trí điểm I trên cung nhỏ DE để tam giác AMN có diện tích lớn nhất
Chẳng bao giờ muốn làm hình vì câu nói kèm theo "nhớ vẽ hình giúp mình luôn".
Cho nên, bạn tự vẽ hình :D
Do (O) tiếp xúc với cả AB và AC => k/c từ O đến AB và AC là bằng nhau =>O nằm trên phân giác góc \(\widehat{A}\) => O là trung điểm BC => O cố định
Do đó ta có D và E đều là các điểm cố định.
Theo tính chát các tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}MI=MD\\NI=NE\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow MN=MI+IN=MD+NE\)
\(\Rightarrow\) Chu vi \(\Delta AMN=AM+MN+AN=AM+MD+NE+AN=AD+AE\)
Do D và E cố định \(\Rightarrow AD+AE=const\Rightarrow\) chu vi AMN ko đổi
b/ Vẫn theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{IOM}=\widehat{DOM}\\\widehat{ION}=\widehat{EON}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{MON}=\dfrac{1}{2}\widehat{DOE}\)
Trong tứ giác AEOD \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{D}=90^0\\\widehat{E}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{DOE}=180^0\Rightarrow\widehat{DOE}=180^0-\widehat{A}\)
\(\Rightarrow\widehat{MON}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\) .
Lại có ABC cân \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{B}=\widehat{C}\)
Xét \(\Delta MON\) và \(\Delta MBO\) : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{NMO}=\widehat{OMB}\\\widehat{MON}=\widehat{B}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MON\sim\Delta MBO\)
\(\Rightarrow\widehat{BOM}=\widehat{ONM}\)
Mà \(\widehat{ONM}=\widehat{ONC}\Rightarrow\widehat{BOM}=\widehat{ONC}\), hơn nữa \(\widehat{B}=\widehat{C}\)
\(\Rightarrow\Delta BOM\sim\Delta CNO\Rightarrow\dfrac{BO}{CN}=\dfrac{BM}{CO}\Rightarrow OB.OC=CN.BM\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2=BM.CN\Rightarrow BC^2=4BM.CN\)
c/ \(S_{AMN}=S_{ABC}-S_{BCNM}\Rightarrow S_{AMN}\) lớn nhất khi \(S_{BCNM}\) nhỏ nhất
Lại có \(S_{BCNM}=S_{BOM}+S_{MON}+S_{ONC}=\dfrac{1}{2}\left(OD.BM+OI.MN+OE.NC\right)\)
\(=\dfrac{R}{2}\left(BD+DM+MN+NE+EC\right)\) do \(OD=OI=OE=R\)
Dễ dàng chứng minh \(\Delta BOD=\Delta COE\left(ch-gn\right)\) \(\Rightarrow BD=CE\)
\(\Rightarrow S_{BCNM}=\dfrac{R}{2}\left(2BD+2MN\right)=R\left(BD+MN\right)\) (do \(DM+NE=MN\) )
Ta có R và BD cố định \(\Rightarrow S_{BCNM}\) nhỏ nhất khi \(MN\) nhỏ nhất
\(\Rightarrow I\) trùng giao điểm của OA và đường tròn hay I nằm chính giữa cung nhỏ DE
Chỉ em với ạ ☺Câu nào cũng được ạ, em cần ít nhất là 1 câu
