Question

Cho tam giác ABC cân tại A và M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc AC ở điểm K. Gọi I là trung điểm của MB. C/minh: \(AI\perp IK\).

Answer 1

Gọi H chân đường vuông góc kẻ từ M đến cạnh AB.

N là điểm nằm trên tia đối của IK sao cho IK=IN.

Ta thấy ngay: \(\Delta\)MIK=\(\Delta\)BIN (c.g.c) => MK=BN (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: ^KCM + ^ACB = 90⁰ ; ^HMB + ^ABC = ^KMC + ^ABC = 90⁰ (Vì \(\Delta\)BHM vuông tại H)

Lại có: ^ABC=^ACB => ^KCM = ^KMC => \(\Delta\)MKC cân đỉnh K => MK=CK (2)

Từ (1) và (2) => CK=BN

Do \(\Delta\)MIK=\(\Delta\)BIN (cmt) => ^IKM=^INB => MK//BN (2 góc so le trg bằng nhau)

Mà MK vuông góc AB tại H => BN vuông góc AB hay ^ABN=90⁰

Xét \(\Delta\)ACK và \(\Delta\)ABN: AC=AB; ^ACK=^ABN=90⁰; CK=BN (cmt)

=> \(\Delta\)ACK=\(\Delta\)ABN (c.g.c) => AK=AN (2 cạnh tương ứng)

=> \(\Delta\)NAK cân đỉnh A. Mà I là trung điểm NK

=> AI là đường cao \(\Delta\)NAK. Hay AI vuông góc IK (đpcm).