- Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân:
+ \(\Delta ABC\)cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
BD là tia phân giác của \(\widehat{B}\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{1}{2}.\widehat{ABC}\)
CE là tia phân giác của \(\widehat{C}\Rightarrow\widehat{C_1}=\widehat{C_2}=\frac{1}{2}.\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\)
+) Xét 2 tam giác : AEC và ADB , có :
\(\widehat{A}\)chung
AB = AC
\(\widehat{C_1}=\widehat{B_1}\)
\(\Rightarrow\Delta AEC=\Delta ADB\left(g.c.g\right)\)
=> AE = AD ( 2 cạnh tương ứng )
Ta có : AD = AE ( cmt ) nên tam giác ADE cân tại A ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân )
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ADE}\)( tính chất tam giác cân )
Xét tam giác ADE , ta có :
\(\widehat{AED}+\widehat{ADE}+\widehat{A}=180^o\)( định lý tổng 3 góc trong tam giác )
\(\Rightarrow2\widehat{AED}+\widehat{A}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(1\right)\)
Xét tam giác ABC , ta có :
\(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)( định lý tổng 3 góc trong tam giác )
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow2\widehat{ABC}+\widehat{A}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\frac{180^o-\widehat{A}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\), mà hai góc này là hai góc đồng vị nên suy ra DE // BC ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )
Do đó BEDC là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang).
Lại có\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (chứng minh trên)
Nên BEDC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
Ta có:
DE // BC => \(\widehat{D_1}=\widehat{B_2}\) (so le trong)
Lại có \(\widehat{B_2}=\widehat{B_1}\) ( cmt ) nên \(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\)
\(\Rightarrow\Delta EBD\) cân tại E (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
=> EB = ED ( tính chất tam giác cân )
Vậy BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
