Gọi M là giao điểm của DF và BC
\(\Delta BKC\)có BF là đường cao đồng thời là phân giác nên \(\Delta BKC\)cân tại B
\(\Rightarrow\)BF cũng là trung tuyến\(\Rightarrow KF=CF\)
Lại có AD = CD (gt) nên FD là đường trung bình của \(\Delta AKC\)
\(\Rightarrow FD//AK\)hay \(DF//KB\)và 2FD = AK
\(\Rightarrow\frac{BG}{DG}=\frac{BK}{FD}=\frac{2BK}{AK}\)(1)
Ta có: \(\frac{EC}{ED}=\frac{DC-DE}{DE}=\frac{DC}{DE}-1=\frac{AD}{DE}-1\)
\(=\frac{AE-DE}{DE}-1=\frac{AE}{DE}-2\)
DM // AB (cmt) \(\Rightarrow\frac{AE}{DE}=\frac{AB}{DF}\)
\(\Rightarrow\frac{AE}{DE}-2=\frac{AB}{DF}-2=\frac{AK+KB}{DF}-2\)
\(=\frac{2\left(AK+KB\right)}{AK}-2=2+\frac{2BK}{AK}-2=\frac{2BK}{AK}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BG}{DG}=\frac{CE}{DE}\)
\(\Rightarrow GE//BC\)(theo định lý Thales đảo)
Vậy \(GE//BC\)(đpcm)
