Question

Cho số tự nhiên n ( \(1010\le n\le2016\)) sao cho a_n = \(\sqrt{20203+21n}\)là số tự nhiên .

a) Khi ấy a_n phải nằm trong khoảng nào?

b) Chứng minh rằng a_n chỉ có thể là dạng a_n = 7k+1 hoặc a_n = 7k - 1 \(\left(k\in N\right)\)

Ai k mk; mk k lại.

 

Answer 1

a) Do \(1010\le n\le2016\)nên:

                \(\sqrt{20203+21\times1010}\le a_n\le20203+21\times2016\)\(\Leftrightarrow204\le a_n\le250\)

b) Ta có:

\(a^2_n=20203+21n=\left(21\times962+1\right)+21n\)

\(\Leftrightarrow a^2_n-1=21\times\left(962+n\right)=3\times7\times\left(962+n\right)\)

\(\Rightarrow\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)⋮7\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a_n-1\right)⋮7\\\left(a_n+1\right)⋮7\end{cases}}\)

Hay \(a_n+1=7k\)hoặc \(a_n-1=7k\)\(\Rightarrow a_n=7k-1\)hoặc \(a_n=7k+1\left(k\in N\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)