Question

Cho \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}\)

Chứng minh rằng \(\frac{2}{5}\)\(< S< \frac{8}{9}\)

Nhanh + đúng = tick nhé

 

Answer 1

( 99 - 1 ) : 2 + 1 = 50 ( số )

làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại

Số số hạng là : 

Có số cặp là :

50 : 2 = 25 ( cặp )

Mỗi cặp có giá trị là :

99 - 97 = 2 

Tổng dãy trên là :

25 x 2 = 50

Đáp số : 50

Answer 2

Ta có : \(S>\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{9\cdot10}\)

       \(\Rightarrow S>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

      \(\Rightarrow S>\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)           (1)

Ta lại có : \(S< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{8\cdot9}\)

          \(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

           \(\Rightarrow S< 1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)

Từ (1) và (2)  \(\Rightarrow\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)          ( đpcm )

Answer 3

Ta có :

2² = 2.2 < 2.3 => \(\frac{1}{2^2}>\frac{1}{2.3}\)

3² = 3.3 < 3.4 => \(\frac{1}{3^2}>\frac{1}{3.4}\)

........................

9² = 9 . 9 < 9. 10 => \(\frac{1}{9^2}>\frac{1}{9.10}\)

=> S > \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

=> S > \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

=> S > \(\frac{1}{2}-\frac{1}{10}\)

=> S >\(\frac{2}{5}\)( 1 )

Ta có :

2² = 2 . 2 > 1.2 => \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

3² = 3.3 > 3.2 => \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

...........................

9² = 9.9 > 8.9 => \(\frac{1}{9^2}< \frac{1}{8.9}\)

=> S < \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{8.9}\)

=> S < \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)

=> S < \(1-\frac{1}{9}\)

=> S <\(\frac{8}{9}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

=> \(\frac{2}{5}< S< \frac{8}{9}\)