Question

Cho \(S=5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6+...+5^{2017}\) . Chứng tỏ S không chia hết cho 65

Answer 1

Ta có :

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2016}+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+\left(5^5+5^6+5^7+5^8\right)+...+\left(5^{2013}+5^{2014}+5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(=\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^4\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+...+5^{2012}\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right)\left(5+5^2+5^3+5^4\right)+5^{2017}\)

\(=\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)

Ta có :

\(5^4\text{≡}1\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow\left(5^4\right)^{504}\text{≡}1^{504}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2016}\text{≡}\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow5^{2017}\text{≡}5\left(mod13\right)\)

Lại có :

\(\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12\text{ }\text{⋮}65\)

\(5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow\left(1+5^4+5^8+...+5^{2012}\right).65.12+5^{2017}\)không chia hết cho 65

\(\Rightarrow S\)không chia hết cho 65

Vậy \(S\)không chia hết cho 65

Answer 2

\(S=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+...+\left(5^{2015}+5^{2016}\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2\left(5+5^2\right)+5^4\left(5+5^2\right)+...+5^{2014}\left(5+5^2\right)+5^{2017}\)

\(S=130+5^2.130+5^4.130+...+5^{2014}.130+5^{2017}\)

\(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)

Vì \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)\)chia hết cho 65 nhưng \(5^{2017}\)không chia hết cho 65

=> \(S=130\left(1+5^2+5^4+...+5^{2014}\right)+5^{2017}\)không chia hết cho 65

Vậy \(5+5^2+5^3+5^4+5^5+...+5^{2017}\)Không chia hết cho 65

Answer 3

S=5+(5²+5³+5⁴+5⁵)+....+(5²⁰¹⁴+5²⁰¹⁵+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁷)

S=5+3900+...+5²⁰¹²(5²+5³+5⁴+5⁵⁾

S=5+3900(1+..+5²⁰¹²)

S=5+65.60.(1+...+5²⁰¹²)

Vì 65.60.(1+....+5²⁰¹²) chia hết cho 65 mà 5ko chia hết cho 65 nên a ko chia hết cho 65

Answer 4

chiu thoi

Answer 5

con chó

Answer 6

toan loop 6 khoo vai may minh lop 3

Answer 7

S= 5+(5²+...+5⁵)+...(5⁶+...+5⁹)+...+(5²⁰¹⁴+...+5²⁰¹⁷)    

S= 5+3900+...+5²⁰¹².(5²+...+5⁵)                                               giùm mình nhoa xin lỗi pạn vì k thể trả lời sớm hơn:(     

S=5+3900.(1+...+5²⁰¹²)                                                                    ^O^

S=5+65.60.(1+...+5²⁰¹²)

Vì tích 65.60.(1+...+5²⁰¹²) có 65 chia  hết cho 65=> 65.60.(1+...+5²⁰¹²) nhưng 5 không chia hết cho 65 nên S không chia hết cho 65

Answer 8

à giùm mình nhoa ^O^ sorry vì trả lời trễ :(

Answer 9

mình chịu thôi

Answer 10

5S=5²+...+5²⁰¹⁸

5S-S=(5²+...+5²⁰¹⁸) -(5+5²+...+5²⁰¹⁷⁾

\(4S=5^{2018}-5\Rightarrow S=\frac{5^{2018}-5}{4}\)