Question

Cho p(x) là đa thức bậc 4 biết p(1)=p(-1), p(2)=p(-2)

CM: p(x)=p(-x)

Answer 1

vì P(x) là đa thức bậc 4 nên P(x) có dạng :

P(x) = a₄x⁴ + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀

Ta có : P(1) = P(-1) ; P(2) = P(-2)

Suy ra : a₁ + a₃ = -a₁ - a₃ \(\Leftrightarrow\)2a₁ + 8a₃ = -2a₁ - 8a₃ \(\Leftrightarrow\)a₁ = a₃ = 0

Vậy P(x) = a₄x⁴ + a₂x² + a₀

P(-x) = a₄(-x)⁴ + a₂(-x)² + a₀ = a₄x⁴ + a₂x² + a₀ = P(x)

Answer 2

P(x) là một đa thức bậc 4 nên P(x) có dạng thu gọn là:

P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4

Từ các điều kiện P(1) = P(-1) và P(2) = P(-2), ta suy ra:

a1+a3=−a1−a3a1+a3=−a1−a3 (1)

2a1+8a3=−2a1−8a32a1+8a3=−2a1−8a3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a1=a3=0a1=a3=0

Vậy P(x)=a0+a2x2+a4x4=a0+a2(−x)2+a4(−x)4=P(−x)P(x)=a0+a2x2+a4x4=a0+a2(−x)2+a4(−x)4=P(−x) với mọi $x\in Q$