Xét phương trình :
\(x^2-2mx+m^2-\frac{1}{2}=0\)
\(\left(a=1;b=-2m;c=m^2-\frac{1}{2}\right)\)
\(b'=-m\)
a/ Ta có :
\(\Delta'=b'^2-ac\)
\(=\left(-m\right)^2-\left(m^2-\frac{1}{2}\right)\)
\(=m^2-m^2+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}>0\)
\(\Leftrightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo định lý Viet ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\frac{c}{a}=m^2-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(\left|x_1\right|=\left|x_2\right|\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\x_1=-x_2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\left(loại\right)\\x_1+x_2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2m=0\Leftrightarrow m=0\)
Vậy...
b/ Ta có : \(x_1^2+x_2^2=3^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2=9\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-2.\left(m^2-\frac{1}{2}\right)=9\)
\(\Leftrightarrow2m^2-8=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy..
