Question

Cho pt x² - mx + m -1 = 0

a) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Tìm m phương trình có hai nghiệm phân biệt là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền bằng \(\frac{1}{2}\)

Answer 1

Lời giải:

a)

Ta thấy: $\Delta=(-m)^2-4(m-1)=m^2-4m+4=(m-2)^2\geq 0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có nghiệm với mọi $m$ (đpcm)

b)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta=(m-2)^2>0\Leftrightarrow m\neq 2$

Áp dụng định lý Vi-et, với $x_1,x_2$ là nghiệm ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=m\\ x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

$x_1,x_2$ là 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có đường cao $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{1}{h^2}=4$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4(x_1x_2)^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(x_1x_2)^2$

$\Leftrightarrow m^2-2(m-1)=4(m-1)^2$

$\Leftrightarrow 3m^2-6m+2=0$

$\Leftrightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{3}}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy..