Câu a :
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m^2-m+3\right)\)
\(=4m^2-4m^2+4m-12\)
\(=4m-12\)
Để phương trình có nghiệm thì :
\(4m-12\ge0\)
\(\Leftrightarrow4m\ge12\)
\(\Leftrightarrow m\ge3\)
Câu b :
Vì \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình . Nên theo hệ thức vi-ét ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m^2-m+3\end{matrix}\right.\)
\(C=x_1^2+x_2^2-4.x_1.x_2\)
\(=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_1\right]-4.x_1.x_2\)
\(=\left[\left(-2m\right)^2-2\left(m^2-m+3\right)\right]-4\left(m^2-m+3\right)\)
\(=4m^2-2m^2+2m-6-4m^2+4m-12\)
\(=-2m^2+6m-18\)
\(=-2\left(m^2-3m+9\right)\)
\(=-2\left[\left(m^2-3m+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{27}{4}\right]\)
\(=-2\left[\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{27}{4}\right]\)
\(\Rightarrow C\le-2.\dfrac{27}{4}\le-\dfrac{27}{2}\)
Vậy \(Max_C=-\dfrac{27}{2}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(m=\dfrac{3}{2}\)
