Question

Cho phương trình: \(2\left(\sin^4x+\cos^4x\right)+\cos4x+2\sin2x+m=0\) . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;\frac{\pi}{2}\right]\) .

Answer 1

\(\Leftrightarrow2\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-4sin^2x.cos^2x+cos4x+2sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow2-sin^22x+1-2sin^22x+2sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow3sin^22x-2sin2x-3=m\)

Đặt \(sin2x=t\Rightarrow t\in\left[0;1\right]\)

\(\Rightarrow3t^2-2t-3=m\)

Xét \(f\left(t\right)=3t^2-2t-3\) trên \(\left[0;1\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=\frac{1}{3}\in\left[0;1\right]\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{10}{3}\) ; \(f\left(0\right)=-3\) ; \(f\left(1\right)=-2\)

\(\Rightarrow-\frac{10}{3}\le m\le-2\)