Question

Cho phân số \(P=\frac {6n+5}{3n+2}(n\in N)\) 

a. Chứng minh rằng phân số P là phân số tối giản

b. Với giá trị nào của n thì P có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó.

Answer 1

\(a,\)Giả sử phân số P chưa tối giản

\(\Rightarrow6n+5⋮d;3n+2⋮d\)

Từ \(3n+2⋮d\Rightarrow2\left(3n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow6n+4⋮d\)

\(\Rightarrow\left(6n+5\right)-\left(6n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy p/số trên tối giản

\(b,P=\frac{6n+5}{3n+2}=\frac{6n+4+1}{3n+2}=2+\frac{1}{3n+2}\)

Để \(P\)đạt Max thì \(\frac{1}{3n+2}\)phải đạt Max

\(\Rightarrow3n+2=1\Leftrightarrow n=-\frac{1}{3}\)

Vậy Max P = 1+1=2<=> n = -1/3

Answer 2

a) \(P=\frac{6n+5}{3n+2}\)là phân số tối giản <=> ƯCLN(6n + 5; 3n + 2) \(\in\){-1;1}

Gọi d là ƯCLN(6n+5;3n + 2)

Ta có : 6n + 5 \(⋮\)d

           3n + 2 \(⋮\)d  => 2(3n + 2) \(⋮\)d => 6n + 4 \(⋮\)d

=> (6n + 5) - (6n + 4) = 1 \(⋮\)d => d\(\in\){1; -1}

Vậy P là phần số tối giản

b) tự làm

Answer 3

a) Gọi ƯCLN(6n+5;3n+2) là d

ta có: 6n+5 chia hết cho d

3n + 2 chia hết cho d => 2.(3n+2) chia hết cho d => 6n +4 chia hết cho d

=> 6n + 5 - 6n - 4 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d thuộc Ư(1)={1;-1}

=> ƯCLN(6n+5;3n+2} = 1 ( với n thuộc N)

=> P là phân số tối giản

b) ta có: \(P=\frac{6n+5}{3n+2}=\frac{6n+4+1}{3n+2}=\frac{2.\left(3n+2\right)+1}{3n+2}=2+\frac{1}{3n+2}\)

Để P có giá trị lớn nhất

=> 1/3n+2 có giá trị lớn nhất

\(\frac{1}{3n+2}\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi

1/3n+2 = 1

=> 3n+2 = 1

3n = -1

n = -1/3

=> giá trị lớn nhất của P = 2+1 =3 tại n = -1/3