Question

Cho phân số \(\frac{a}{b}\)với \(a;b>0\).Chứng minh rằng:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2.\)

Answer 1

Không giảm tính tổng quát, giả sử a > b => a = b + m (m > 0)

Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)

                       \(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)

Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra khi m = 0 <=> a = b)

Answer 2

ta có (a-b)²\(\ge\)0

a²+b²\(\ge\)2ab (1)

ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)

kết hợp với (1) ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\frac{2ab}{ab}=2\)

vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)