Cho parabol $(P):\,\,y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:\,y=2x-m$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có $A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),\,\,B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ sao cho ${{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}=6\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right).$
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(x^2=2x-m\Leftrightarrow x^2-2x+m=0\) (*)
Pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.m=1-m\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt \(x_1,x_2\) thì pt (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) \(\Leftrightarrow\Delta'>0\Leftrightarrow1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)
Khi \(m< 1\), áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}y_1=x_1^2\\y_2=x_2^2\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow y_1+y_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2m=4-2m\)
Do đó để \(y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6\left(x_1+x_2\right)\)\(\Leftrightarrow4-2m+m^2=6.2\)\(\Leftrightarrow m^2-2m-8=0\) (1)
pt (1) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-1.\left(-8\right)=9>0\)
Vậy (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{9}}{1}=4\\m_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{9}}{1}=-2\end{matrix}\right.\)
Như vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ và tung độ thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Mà do \(m< 1\) nên ta chỉ nhận trường hợp \(m=-2\)
Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ và tung độ thỏa mãn đề bài thì \(m=-2\)
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
(1)
Ta có: .
Điều kiện để cắt tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của và có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra (*).
Khi đó , là các hoành độ giao điểm của và nên , là các nghiệm của phương trình hoành độ của và .
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Khi đó,
Vậy là giá trị cần tìm.
Phương trình hoành độ giao điểm của và là:
(1)
Ta có: .
Điều kiện để cắt tại hai điểm phân biệt là phương trình hoành độ giao điểm của và có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra (*).
Khi đó , là các hoành độ giao điểm của và nên , là các nghiệm của phương trình hoành độ của và .
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Khi đó,
Vậy là giá trị cần tìm.