Nếu p = 3k hay p = 3 thì 8p-1 = 23 là số nguyên tố. 8p+1 = 25 là hợp số.
Nếu p = 3k+1 thì 8p +1 = 8(3k+1) + 1 = 24k + 9 là hợp số.
Nếu p = 3k + 2 thì 8p -1 = 8(3k+2 ) - 1 = 24k + 15 là hợp số không thể là số nguyên tố.
Bài toán được chứng minh.
Xét p dưới dạng : 3k (khi đó p=3), 3k+1,3k+2(k∈N).
Dạng thứ ba không thỏa mãn đề bài (vì khi đó 8p−1 là hợp số), hai dạng trên đều cho 8p+1 là hợp số.
Ta thấy 8p-1, 8p, 8p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3.
Mà p, 8p-1 là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3
\(\Rightarrow\)8p và 8p-1 không chia hết cho 3
Suy ra 8p+1 chia hết cho 3, mà 8p+1>3 nên 8p+1 là hợp số (đpcm)
Cach 1: Vi p nguyen to => 8p-1 nguyen to >2 =>8p-1 le => p le
=> 8p+1 chan; 8p+1>2
=> 8p+1 la hop so (dpcm)
Cach 2:Xet p=2 => 8p-1=15 la hop so(loai)
Xet p=3 =>8p-1=23 va 8p+1=25 la hop so
Xet p>3 => p=3k+1 hoac p=3k+2,k thuoc N sao
Voi p=3k+1 => 8p-1=24k chia het cho 3 va 8p-1>3
=> 8p-1 la hop so (loai)
=> p=3k+2 =>8p+1=24k+3 chia het cho 3 va 8p+1>3
=>8p+1 la hop so (dpcm)
