Vì p là SNT lớn hơn 3 lên p—1 và p+1 là số chẵn=» (p—1)×(p+1) chia hết cho 8(1)
vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 lên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2. Tính từng trường hợp »» chia hết cho 3.kết hợp vs (1) chia hết cho 24(điều phải chứng minh)
Vì p là số nguyên tố >3 nên p là số lẻ
=> 2 số p-1,p+1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8 (1)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên => p=3k+1 hoặc p=3k+2 (k thuộc N*)
+)Với p=3k+1 => (p-1)(p+1)=3k(3k+2) chia hết cho 3 (*)
+) Với p=3k+2 => (p-1)(p+1)=(3k-1).3.(k+1) chia hết cho 3 (**)
từ (*) và (**)=>(p-1)(p+1) chia hết cho 3 (2)
Vì (8;3)=1 =>từ (1) và (2) => (p-1)(p+1) chia hết cho 24
Vì p là SNT lớn hơn 3 => p lẻ => p -1 và p + 1 là hai số chẵn LT
=> Trong 2 số p - 1 và p + 1 có số chia hết cho 2 và số còn lại chia hết cho 4
=> ( p - 1 )( p + 1 ) \(⋮\)8 (1)
Vì p là SNT > 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( k \(\in\)N* )
* Xét p = 3k + 1 => p - 1 = 3k + 1 - 1 = 3k => ( p - 1) \(⋮\)3 => (p-1)(p+1) \(⋮\)3
* Xét p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 = 3( k + 1 ) => ( p + 1 ) \(⋮\)3 => (p-1)(p+1) \(⋮\)3
=> p là SNT > 3 ta luôn có (p-1)(p+1) \(⋮\)3 (2)
Mà 3, 8 nguyên tố cùng nhau ( 3)
Từ (1),(2),(3) => (p-1)(p+1) \(⋮\)3 . 8 => (p-1)(p+1) \(⋮\)24 ( đpcm)
