Question

Cho (O) với dây $\mathrm{AB}$ cố định (AB không qua $\mathrm{O}$ ). Đường kính $\mathrm{CD}$ vuông góc với $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{H}$ (C thuộc cung lớn $\mathrm{AB}$ ). Điểm $\mathrm{M}$ di chuyển trên cung nhỏ $\mathrm{AC}(\mathrm{M} \neq \mathrm{A}$ và $\mathrm{M} \neq \mathrm{C})$. Đường thẳng $\mathrm{CM}$ cắt đường thẳng $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{N}$. Nối $\mathrm{MD}$ cắt $\mathrm{AB}$ tại $\mathrm{E}$.
a) Chứng minh tứ giác CMEH nội tiếp.
b) Chứng minh $\mathrm{NM} \cdot \mathrm{NC}=$ NA.NB.
c) Lấy điểm $\mathrm{P}$ đối xứng với $\mathrm{A}$ qua $\mathrm{O}$. Gọi I là trung điểm của $\mathrm{MC}$. Kẻ $\mathrm{IK}$ vuông góc với đường thẳng $\mathrm{AM}$ tại $\mathrm{K}$. Chứng minh $\mathrm{IK} / / \mathrm{MP}$ và điểm $\mathrm{K}$ thuộc một đường tròn cố định.

Answer 1

a. Xét (O) , có:
CD \(\perp\)AB = {H}
=> \(\widehat{CHA}=90^o\Rightarrow\widehat{CHE}=90^o\)

Có: \(\widehat{CMD}\)là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CD
=> \(\widehat{CMD}=90^o\Rightarrow\widehat{CME}=90^o\)

Xét tứ giác CMEH, có:
\(\widehat{CME}+\widehat{CHE}=90^o+90^o=180^o\)

2 góc \(\widehat{CME}\)và \(\widehat{CHE}\)là 2 góc đối nhau
=> CMEH là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Answer 2

Câu a: Có góc CHE=90 độ (vì CD\(\perp AB\) tại H)

                  Góc CMD =90 độ(góc nt chắn nửa đt)

             Mà góc CHE và góc CMD ở vị trí đối nhau

 ⇒ Tứ giác CMEH nội tiếp

Câu b:

   Xét \(\Delta NACva\Delta NMB\) có :

     Góc N chung

     Góc NCA = góc NBM (cùng chắn cung MA)

⇒ \(\Delta NAC\) đồng dạng \(\Delta NBM\) (góc góc)

  ⇒\(\dfrac{NM}{NA}\)=\(\dfrac{NB}{NC}\)⇔NM.NC=NA.NB

Câu c:

Có góc PMA=90 độ ( góc nt chắn nửa đt)→PM\(\perp\)AK

                                                            Mà IK\(\perp\)AK

                                           ⇒IK song song với MP (từ vuông góc đến song song

 

Answer 3

Answer 4

Answer 5

Answer 6

Answer 7

Answer 8

a,vì CD vuông góc vs AB tại H ⇒ góc CHA=90\(^0\)hay góc CHE=90\(^0\)

lại có: góc CMD là góc nt chắn nửa (o)⇒ góc CMD=90\(^0\) hay góc CME=90\(^0\)

xét tứ giác CMEH có :

góc CHE+ góc CME=90\(^0\)+90\(^0\)=180\(^0\)

mà 2 óc ở vị trí đối nhau

⇒CMEH là tứ giác nội tiếp

Answer 9

a) Chứng minh \widehat{C M E}=90^{\circ}CME=90∘

b) Chứng minh tứ giác AMCB nội tiếp $\Rightarrow$ Chứng minh \widehat{N M A}=\widehat{N B C}NMA=NBC
Chứng minh $△\mathrm{N}\mathrm{M}\mathrm{A}\backsim △\mathrm{N}\mathrm{B}\mathrm{C}(\mathrm{g}\mathrm{g})$
Chứng minh NM. $\mathrm{N}\mathrm{C}=\mathrm{N}\mathrm{A}.\mathrm{N}\mathrm{B}(\mathrm{đ}\mathrm{p}\mathrm{c}\mathrm{m})$

c) Chứng minh $\mathrm{A}\mathrm{P}$ là đường kính của (O).

Chứng minh MP $\perp$ AM.

Chứng minh IK // MP.

Gọi $\mathrm{I}\mathrm{K}$ cắt $\mathrm{C}\mathrm{P}$ tại $\mathrm{F}$. Chứng minh $\mathrm{F}$ là trung điểm của CP Vì $\mathrm{A},\mathrm{C}$ cố định $\Rightarrow \mathrm{P},\mathrm{F}$ cố định.
Mà \widehat{AKF}=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{K}AKF=90∘⇒K thuộc đường tròn đường kính $\mathrm{A}\mathrm{F}$ cố định.

Answer 10

Answer 11

Answer 12