Để OI ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM vuông góc với OE.
Gọi H là hình chiếu của I trên OE. Ta có:
Trong tam giác IHE vuông tại H, ta có IH ≤ IE.
Trong tam giác IME vuông tại I, ta có IM ≤ IE.
Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM càng nhỏ càng tốt.
Gọi G là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có:
Tam giác AFG đồng dạng với tam giác CME (do có hai góc vuông bằng nhau).
Do đó, ta có:
$\frac{IM}{IE}=\frac{CG}{AE}=\frac{CG}{AC}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}$
Vì BG = CG, nên ta có thể viết lại:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}$
Ta cần tìm vị trí của M để IM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{IM}{IE}$.
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này:
$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}\geq 2\sqrt{\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = BE.
Vậy để OI ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho AB = BE.
20:05 Chatbot GPT
