hình mình ko vẽ nhé.
a) Ta có : \(\Delta AMB\)nội tiếp ( O;R ) đường kính AB nên vuông tại M
Áp dụng hệ thức lượng, ta có :
\(MK^2=AK.KB=\left(OA+OK\right)\left(OB-OK\right)=\frac{3R}{2}.\frac{R}{2}=\frac{3R^2}{4}\)
\(\Rightarrow MK=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)
b) Xét \(\Delta ABC\)có \(CO\perp AB;AM\perp BC\) \(\Rightarrow\)I là trực tâm
\(\Rightarrow\)\(BI\perp AC\)( 1 )
Mà \(\Delta ABP\)nội tiếp ( O ) đường kính AB nên vuông tại P
\(\Rightarrow BP\perp AC\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra B,I,P thẳng hàng
c) Ta có : \(\widehat{IMO}=\widehat{MAO}\)
Dễ thấy Tứ giác ACMO nội tiếp nên \(\widehat{MAO}=\widehat{OCM}\)
\(\Rightarrow\widehat{IMO}=\widehat{OCM}\)
Gọi H là trung điểm IC
\(\Delta CIM\)vuông tại M có MH là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên \(HI=HM\Rightarrow\widehat{HIM}=\widehat{HMI}\)
Ta có : \(\widehat{HMI}+\widehat{IMO}=\widehat{HIM}+\widehat{ICM}=90^o\)hay \(\widehat{HMO}=90^o\Rightarrow HM\perp MO\)
Mà HM = \(\frac{IC}{2}\)và H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IMC hay đường tròn đường kính IC
\(\Rightarrow\)OM là tiếp tuyến đường tròn đường kính IC
