Các câu hỏi tương tự
Cho nửa đường tròn đường kính $BC$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$). Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc với $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$, nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$.
a) Tứ giác $AFHE$ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tứ giác $AFHE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn đường kính $BC$, bán kính $R$ và điểm $A$ nằm trên nửa đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$). Từ $A$ hạ $AH$ vuông góc với $BC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa điểm $A$, vẽ nửa đường tròn đường kính $BH$ cắt $AB$ tại $E$, nửa đường tròn đường kính $HC$ cắt $AC$ tại $F$.
a) Tứ giác $AFHE$ là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh $BEFC$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm $A$ sao cho tứ giác $AFHE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Nối $H$ với $E$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại điểm thứ hai $F$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $H$, $B$, $A$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.
b) Chứng minh DFperp BC.
c) Gọi $I$ là điểm đối xứng với $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $HD.HI HE.HF$.
Đọc tiếp
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$. Đường tròn đường kính $BC$ cắt $AB$, $AC$ lần lượt tại $D$ và $E$. Nối $H$ với $E$ cắt đường tròn đường kính $BC$ tại điểm thứ hai $F$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $H$, $B$, $A$, $E$ cùng nằm trên một đường tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.
b) Chứng minh \(DF\perp BC.\)
c) Gọi $I$ là điểm đối xứng với $E$ qua $BC$. Chứng minh rằng $HD.HI = HE.HF$.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$, điểm $M$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. Vẽ $MH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ và $MK$ vuông góc với $AC$ ở $K$.
a/ Chứng minh tứ giác $AHMK$ nội tiếp.
b/ Chứng minh \(\Delta MHK \backsim\Delta MBC\).
c/ Giả sử $HK$ cắt $BC$ tại $G$. Chứng minh \(MG\perp BC\).
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc đoạn $AO$ ($C$ không trùng $O$ và $A$), vẽ đường tròn $(O)$ đường kính $CB$. Qua trung điểm $M$ của $AC$, kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$, cắt $(O)$ tại $D$ và $E$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với đường tròn $(O)$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BE$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh:
a) Tứ giác $CDAE$ là hình thoi.
b) $CI//AD$.
c) Ba điểm $E$, $C$, $I$ thẳng hàng.
d) Bốn điểm $M$, $I$, $B$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.
e)...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc đoạn $AO$ ($C$ không trùng $O$ và $A$), vẽ đường tròn $(O')$ đường kính $CB$. Qua trung điểm $M$ của $AC$, kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$, cắt $(O)$ tại $D$ và $E$. Gọi $I$ là giao điểm thứ hai của $BD$ với đường tròn $(O')$, $J$ là giao điểm thứ hai của $BE$ với đường tròn $(O')$. Chứng minh:
a) Tứ giác $CDAE$ là hình thoi.
b) $CI//AD$.
c) Ba điểm $E$, $C$, $I$ thẳng hàng.
d) Bốn điểm $M$, $I$, $B$, $E$ cùng thuộc một đường tròn.
e) Ba đường thẳng $AM$, $DJ$, $EI$ đồng quy.
Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).
a) Chứng minh widehat{ABE}widehat{EAH} và Delta ABHbacksimDelta AEH.
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để ABRsqrt{3}.
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H$ không trùng với điểm $A$ và $AH < R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B$ ($E$ nằm giữa $B$ và $H$).
a) Chứng minh \(\widehat{ABE}=\widehat{EAH}\) và \(\Delta ABH\backsim\Delta AEH\).
b) Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn $AC$, đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $K$. Chứng minh $AHEK$ là tứ giác nội tiếp.
c) Xác định vị trí điểm $H$ để \(AB=R\sqrt{3}\).
Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AB//IE$.
c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
+ $E$ là trung điểm $MN$.
+ dfrac{1}{AB}+dfrac{1}{CD}dfrac{2}{MN}.
Đọc tiếp
Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB > CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AB//IE$.
c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
+ $E$ là trung điểm $MN$.
+ \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\).
Cho nửa đường tròn đường kính $MN$ và điểm $P$ bất kỳ thuộc nửa đường tròn ($P$ khác $M$ và $N$). Trên nửa mặt phẳng bờ $MN$ chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $Mx$. Tia $NP$ cắt $Mx$ tại $I$. Tia phân giác của widehat{IMP} cắt nửa đường tròn tại $J$ và cắt tia $NP$ tại $H$. Tia $NJ$ giao tia $Mx$ tại $G$ và giao $MP$ tại $K$.
a) Chứng minh tứ giác $JHPK$ nội tiếp.
b) Chứng minh $IM^2 IP.IN$.
c) Chứng minh tam giác $MNH$ cân.
d) Chứng minh tứ giác $MKHG$ là hình thoi.
e) Tìm vị trí điểm $P...
Đọc tiếp
Cho nửa đường tròn đường kính $MN$ và điểm $P$ bất kỳ thuộc nửa đường tròn ($P$ khác $M$ và $N$). Trên nửa mặt phẳng bờ $MN$ chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến $Mx$. Tia $NP$ cắt $Mx$ tại $I$. Tia phân giác của \(\widehat{IMP}\) cắt nửa đường tròn tại $J$ và cắt tia $NP$ tại $H$. Tia $NJ$ giao tia $Mx$ tại $G$ và giao $MP$ tại $K$.
a) Chứng minh tứ giác $JHPK$ nội tiếp.
b) Chứng minh $IM^2 = IP.IN$.
c) Chứng minh tam giác $MNH$ cân.
d) Chứng minh tứ giác $MKHG$ là hình thoi.
e) Tìm vị trí điểm $P$ sao cho tứ giác $IHKM$ nội tiếp được.
Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn đó. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$. Vẽ CDperp AB, CEperp MA, CFperp MB. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$, $K$ là giao điểm của $BC$ và $DF$. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác $AECD$, $BFCD$ nội tiếp được.
b) $CD^2 CE.CF$.
c) IKperp CD.
Đọc tiếp
Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ với đường tròn đó. Trên cung nhỏ $AB$ lấy điểm $C$. Vẽ \(CD\perp AB\), \(CE\perp MA\), \(CF\perp MB\). Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$, $K$ là giao điểm của $BC$ và $DF$. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác $AECD$, $BFCD$ nội tiếp được.
b) $CD^2 = CE.CF$.
c) \(IK\perp CD\).
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Trên $MP$ lấy điểm $E$ left(Ene M,Ene Pright). Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $EP$ cắt $NP$ tại điểm thứ hai là $F$. Nối $NE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $H$. $MH$ giao với đường tròn $(I)$ tại điểm $G$. Chứng minh:
a) Tứ giác $MNFE$ nội tiếp.
b) Khi $E$ chuyển động trên $MP$ thì widehat{MHE} có số đo không đổi.
c) $MN//GF$.
Đọc tiếp
Cho tam giác $MNP$ vuông tại $M$. Trên $MP$ lấy điểm $E$ \(\left(E\ne M,E\ne P\right)\). Vẽ đường tròn tâm $I$ đường kính $EP$ cắt $NP$ tại điểm thứ hai là $F$. Nối $NE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $H$. $MH$ giao với đường tròn $(I)$ tại điểm $G$. Chứng minh:
a) Tứ giác $MNFE$ nội tiếp.
b) Khi $E$ chuyển động trên $MP$ thì \(\widehat{MHE}\) có số đo không đổi.
c) $MN//GF$.