Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB = 2R . Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của ( O ) tại B . Trên cung AB lấy điểm M tùy ý tia AM cắt d tại N . Gọi C là trung điểm của AM tia Co cắt d tại D .
a , CMR OBNC nội tiếp .
b , CMR NO vuông góc với AD .
c , CMR CA . CN = CO . CD
d , Xác định vị trí điểm M để (2AM +AN ) đạt GTNN .
Câu a : Ta có : \(\Delta OMA\) cân tại O và \(AC=MC\) nên \(OC\perp AM\) hay \(\widehat{OCN}=90^0\) .
Xét tứ giác OBNC ta có :
\(\widehat{OCN}=90^0\) ( cmt )
\(\widehat{OBN}=90^0\) ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )
\(\Rightarrow\widehat{OCN}+\widehat{OBN}=180^0\) hay OBNC là tứ giác nội tiếp (đpcm )
Câu b : Xét tam giác AND ta có :
AB là đường cao xuất phát từ đỉnh A .
DC là đường cao xuất phát từ đỉnh D .
Mà hai đường cao này cắt nhau tại O cho nên O là trực tâm của \(\Delta AND\)
NO cắt AD suy ra NO là đường cao của tam giác AND \(\Rightarrow NO\perp AD\)
Câu c : Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAO}+\widehat{ANB}=90^0\\\widehat{CDN}+\widehat{ANB}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{CAO}=\widehat{CDN}\)
Xét tam giác CAO và tam giác CDN ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ACO}=\widehat{DCN}\left(=90^0\right)\\\widehat{CAO}=\widehat{CDB}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta CAO\sim\Delta CDN\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{CA}{CD}=\frac{CO}{CN}\Rightarrow CA.CN=CO.CD\) ( đpcm )
Câu d : Xét tam giác AMB và tam giác ABN ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BAM}:chung\\\widehat{AMB}=\widehat{ABN}\left(=90^0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AMB\sim\Delta ABN\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{AN}\Rightarrow AM.AN=AB^2=4R^2\)
Áp dụng BĐT Cô - si ta có : \(2AM+AN\ge2\sqrt{2AM.AN}=2\sqrt{8R^2}=4R\sqrt{2}\)
Vậy GTNN của 2AM + AN là \(4R\sqrt{2}\) khi và chỉ khi M là trung điểm của AN
