Question

cho n thuộc z cmr B chia hết cho 5040 và B = n^3(n^2-7)^2-36n

Answer 1

Ta có 5040 = 2⁴. 3².5.7

A= n³(n²- 7)² – 36n = n.[ n²(n²-7)² – 36 ] = n. [n.(n²-7 ) -6].[n.(n²-7 ) +6]

 = n.(n³-7n – 6).(n³-7n +6)

Ta lại có n³-7n – 6 = n³ + n² –n² –n – 6n -6 = n².(n+1)- n (n+1) -6(n+1)

=(n+1)(n²-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

Tương tự : n³-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) 

Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:

-         Tồn tại một bội số của 5 (nên A chia hết  5 )

-         Tồn tại một bội của 7 (nên A chai hết  7 )

-         Tồn tại hai bội của 3 (nên A chia hết  9 )

-         Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A chia hết 16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16= 5040