Gọi \(d=ƯCLN\left(2n+1;3n+2\right)\left(d\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+3⋮d\\6n+4⋮d\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow1⋮d\)
\(\LeftrightarrowƯCLN\left(3n+2;2n+1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow2n+1;3n+2\) nguyên tố cùng nhau với mọi n
Để chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau ta chứng minh UCLN của hai số là 1
Giải:Gọi UCLN(2n+1,3n+2)=d.Ta chứng minh d=1
Ta có:2n+1 chia hết cho d \(\Rightarrow\)3.(2n+1) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+3 chia hết cho d
3n+2 chia hết cho d \(\Rightarrow\)2.(3n+2) chia hết cho d \(\Rightarrow\)6n+4 chia hết cho d
\(\Rightarrow\)(6n+4)-(6n+3) chia hết cho d
\(\Rightarrow\)1 chia hết cho d
\(\Rightarrow\)d=1
Vậy 2n+1 và 3n+2 nguyên tố cùng nhau
Đặt trước ước chung lớn nhất (2n + 1 ; 3n + 2) =d
=> 3n + 2 chia hết cho d
=> 2n + 1 chia hết cho d
=> 3n + 2 chia hết cho d
=> 5n + 3 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d
=> d=1
nhớ cho mình nha
