Question

Cho n thuộc N. CMR trong 2 số có ít nhất 1 số không chia hết cho 5:

a = 2^{2n + 1} + 2^{n + 1} + 1 

b = 2^{2n + 1} - 2^{n + 1} + 1

Answer 1

Giả sử cả 2 số đều chia hết cho 5

=> a - b chia hết cho 5

=>  2^{2n + 1} + 2^{n + 1} + 1  - (2^{2n + 1} - 2^{n + 1} + 1) = 2.2ⁿ⁺¹ chia hết cho 5

=> 2ⁿ⁺² chia hết cho 5 . Điều này không xảy ra vì 2ⁿ⁺² không tận cùng bằng 0 ; 5

=> Phải có ít nhất a hoặc b không chia hết cho 5

Answer 2

a = 2²ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹ + 1 = (2²)ⁿ.2¹ + 2ⁿ.2¹ + 1 = 4ⁿ.2 + 2ⁿ.2 + 1 = 2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 

Vì 2.(4ⁿ.2ⁿ) là số chẵn nên 2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 là số lẻ mà 4ⁿ.2ⁿ \(\ne\) (... 0) nên  2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 \(\ne\) 0   , do đó a không chia hết cho 5.

b = 2²ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹ + 1 = (2²)ⁿ.2¹ - 2ⁿ.2¹ + 1 = 4ⁿ.2 - 2ⁿ.2 + 1 = 2.(4ⁿ-2ⁿ) + 1 

Vì 2.(4ⁿ.2ⁿ) là số chẵn nên 2.(4ⁿ.2ⁿ) - 1 là số lẻ, mà 4ⁿ.2ⁿ \(\ne\) (... 0) nên  2.(4ⁿ.2ⁿ) + 1 \(\ne\) 0 do đó b không chia hết cho 5.

                    Suy ra điều phải chứng minh