vì n là số nguyên tố không chia hết cho 3 => khi chia n cho 3 ta có 2 dạng: n=3k+1 hoặc n= 3k+2 (k\(\in\) N )
*) xét n=3k+1 => n2=(3k+1)2=(3k+1).(3k+1)=(3k+1).3k+(3k+1).1
=9k2.3k+3k+1
= 3.(32+k+k) +1 chia 3 dư 1.(1)
*) xét n=3k+2. => n2=(3k+2)2=(3k+2).(3k+2) = (3k+2).3k+(3k+2).2
=9k2+6k+6k+4=9k2+6k+6k+3+1
=3.(3k2+2k+2k+1)+1 chia 3 dư 1. (2)
từ (1) và (2) => n2 chia 3 dư 1 với n là số nguyên tố không chia hết cho 3.
vậy n2 chia 3 dư 1 với n là số nguyên tố không chia hết cho 3.(đpcm)
chúc bạn năm mới hạnh phúc. k mình nha.
a) n không chia hết cho 3 => n chia cho 3 dư 1 hoặc 2
+) n chia cho 3 dư 1 : n = 3k + 1 => n 2 = (3k +1).(3k +1) = 9k 2 + 6k + 1 = 3.(3k 2 + 2k) + 1 => n 2 chia cho 3 dư 1
+) n chia cho 3 dư 2 => n = 3k + 2 => n 2 = (3k +2).(3k+2) = 9k 2 + 12k + 4 = 3.(3k 2 + 4k +1) + 1 => n 2 chia cho 3 dư 1
Vậy...
Nếu \(n=3k+1\)thì \(n^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)\)hay \(n^2=3k\left(3k+1\right)+3k+1\).
Rõ ràng \(n^2\)chia cho 3 dư 1.
Nếu \(n=3k+2\)thì \(n^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)\)hay \(n^2=3k\left(3k+2\right)+2\left(3k+2\right)\)
\(=3k\left(3k+2\right)+6k+4\).
Hai số hạng đầu chia hết cho 3, số hạng cuối chia hết cho 3 dư 1 nên \(n^2\)chia hết cho 3 dư 1
Ta có: n là số nguyên tố không chia hết cho 3 => n là số lẻ lớn hơn 3
=> n được chia theo dạng 3k + 1 và 3k + 2
+) Với n = 3k + 1:
=> n2 = (3k + 1)2
=> n2 = (3k + 1)(3k + 1)
=> n2 = 3k(3k + 1) + 1(3k+1)
=> n2 = 3k.3k + 3k + 3k +1
=> n2 = (3k)2 + 2.3k + 1
=> n2 = 9.k2 + 6k + 1
=> n2 - 1 = 9.k2 + 6k
Vì: 9.k2 chia hết cho 3; 6k chia hết cho 3 => (n2 - 1) chia hết cho 3
=> n2 chia 3 dư 1
+) Với n= 3k + 2:
=> n2 = (3k + 2)(3k + 2)
=> n2 = 3k(3k + 2) + 2(3k + 2)
=> n2 = 3k.3k + 3k.2 + 2.3k + 2.2
=> n2 = (3k)2 + 3k.2 + 2.3k + 2.2
=> n2 = 9k2 + 6k + 6k + 4
=> n2 = 9k2 + 12k + 3 + 1
=> n2 - 1 = 9k2 + 12k + 3
Vì: (9k2 + 12k +3) chia hết cho 3 => n2 - 1 chia hết cho 3
=> n2 chia 3 dư 1
đó là 7 . vì 7 là số nguyên tố và 7:3=3 (dư 1)
