Question

Cho n là số nguyên dương, k là số tự nhiên lẻ. Chứng Minh Rằng: 

\(1^k+2^k+3^k+...+n^k\)chia hết cho\(\left(1+2+3+...+n\right)\)

Answer 1

Ta có (a^k+b^k)\(⋮\)(a+b) với k = 2t+1, t\(\in\)N, a²+b²\(\ne\)0

A=1^k+2^k+...+(n-1)^k+n^k ; 2B=2(1+2+...+n)=n(n+1)

2A=[(1^k+n^k)+(2^k+(n-1)^k+... ]\(⋮\)(n+1)

2A=2[(1^k+(n-1)^k)+(2^k+(n-2)^k)+...+n^k ] \(⋮\)n

Vậy A \(⋮\)B