Question

Cho m,n là 2 số nguyên dương lẻ tm m^2+2 chia hết cho n và n^2+2 chia hết cho m

Cmr m^2+n^2+2 chia hết cho 4mn

Answer 1

Bài này dễ mà bn

Answer 2

Ta có: \(\hept{\begin{cases}m^2+2⋮n\\n^2+2⋮m\end{cases}}\Rightarrow\left(m^2+2\right)\left(n^2+2\right)⋮mn\Rightarrow m^2n^2+2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)

Dễ có \(m^2n^2⋮mn\)nên \(2\left(m^2+n^2+2\right)⋮mn\)

Mà m,n lẻ nên mn lẻ hay \(\left(mn,2\right)=1\)suy ra \(m^2+n^2+2⋮mn\)(*)

Ta có đánh giá rằng số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1 (Thật vậy xét các trường hợp 4k + 1 và 4k + 3)

\(\Rightarrow\)m², n² chia 4 dư 1 \(\Rightarrow m^2+n^2+2⋮4\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(m^2+n^2+2⋮4mn\)(Do \(\left(mn,4\right)=1\))