hổng biết,cẩn thận. mình bị hack nick rùi nhưng nhờ thằng bạn nên lấy lại đc rùi. huhu!
10x10=20
ÔNG LÀ BỤT ĐÂY MẤY ĐỨA< CHO XIN VÀI CÁI NICK NÀO!
Nguyễn Đức Toàn
là TA LÀ BỤT
biết thừa
Dạ cho cháu biến thành nữ thần Kali ạ
Ông làm đc cháu nể
okie
NICK HACK ĐƯỢC NÈ CỦA ĐỨA NÀO ĐÓ! HAHA !
úi giời ơi bụt mà sống thất đức à
ôi ôi
không đọc nội quy của online mathr à,không được đưa các câu hỏi linh tinh lên mà chỉ hỏi các bài tâp khó thôi.
XIN THƯA:
Đại số là một phân nhánh lớn của toán học, cùng với lý thuyết số, hình học và giải tích. Theo nghĩa chung nhất, đại số là việc nghiên cứu về ký hiệu toán học và các quy tắc cho các thao tác các ký hiệu trên;[1] nó là một chủ đề thống nhất của hầu hết tất cả lĩnh vực của toán học.[2]Như vậy, đại số bao gồm tất cả mọi thứ từ giải phương trình cấp tiểu học cho đến các nghiên cứu trừu tượng như nhóm, vành và trường. Phần cơ bản hơn của đại số được gọi là đại số sơ cấp, phần trừu tượng hơn của nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số hiện đại. Đại số sơ cấp thường được coi là cần thiết cho bất kỳ nghiên cứu toán học, khoa học, hoặc kỹ thuật nào, cũng như các ứng dụng khác như các ngành y học và kinh tế. Đại số trừu tượng là một lĩnh vực quan trọng trong toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các nhà toán học chuyên nghiệp. Hầu hết các thành tựu đầu tiên của môn đại số đều có nguồn gốc tiếng Ả Rập như cái tên của nó đã gợi ý, đã được các nhà toán học người Ba Tư nghiên cứu tại Trung Đông[3][4] như al-Khwārizmī (780–850)[5] and Omar Khayyam (1048–1131).[6]
Đại số sơ cấp khác số học trong việc sử dụng các khái niệm trừu tượng, chẳng hạn như sử dụng chữ cái để thay cho con số hoặc là chưa biết hoặc cho phép có nhiều giá trị.[7] Ví dụ, trong phương trình {\displaystyle x+2=5}
Từ đại số cũng được sử dụng trong cách chuyên ngành nhất định. Các phân ngành của đối tượng toán học trong đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và từ này được sử dụng trong các cụm từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.
Mục lục
1Từ nguyên2Đại số như một phân nhánh của toán học3Lịch sử3.1Lịch sử ban đầu của đại số3.2Lịch sử đại số4Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số5Đại số sơ cấp5.1Đa thức5.2Giáo dục6Đại số trừu tượng6.1Nhóm7Các chủ đề chính8Phương trình đại số9Biểu thức:10Linh tinh11Xem thêm12Sách tham khảo13Tham khảo14Liên kết ngoài14.1Tiếng AnhTừ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]
"Đại số" là một từ Hán-Việt (代數), chỉ đến việc sử dụng ký hiệu để đại diện cho con số. Từ này được nhà toán học Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭) dịch ra từ khái niệm từ Tây phương. Trong các ngôn ngữ Tây phương, từ đại số (algebra) phát nguồn từ tiếng Ả Rập الجبر (al-jabr, có nghĩa là phục chế). Nó được lấy từ tựa đề quyển sách Ilm al-jabr wa'l-muḳābala của al-Khwarizmi.
Đại số như một phân nhánh của toán học[sửa | sửa mã nguồn]
Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự như số học, với chữ cái thay cho chữ số.[7] Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là đúng mà không phải quan tâm đến các số có liên quan. Ví dụ, trong phương trình bậc hai
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
{\displaystyle a,b,c}
Trong quá trình phát triển, đại số đã được mở rộng đến các đối tượng không phải số khác, chẳng hạn như vectơ, ma trận và đa thức. Sau đó, các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng không phải số này được tóm tắt để xác định các cấu trúc đại số như nhóm, vành và trường.
Trước thế kỷ 16, toán học được chia thành hai lĩnh vực số học và hình học. Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép vi phân và tích phân như một lĩnh vực của toán học chỉ có từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở đi, nhiều lĩnh vực mới của toán học xuất hiện, hầu hết trong số đó đã sử dụng cả số học và hình học, và gần như tất cả trong số đó đều sử dụng đại số.
Ngày nay, đại số đã phát triển đến khi nó đã bao gồm nhiều ngành của toán học, như có thể thấy trong Phân loại Chủ đề Toán học[8] nơi không có lĩnh vực nào trong số các lĩnh vực mức độ đầu tiên (với hai chữ số) được gọi là đại số. Ngày nay đại số bao gồm các phần 08-Hệ thống đại số chung, 12-Lý thuyết trường và đa thức, 13-Đại số giao hoán, 15-Đại số tuyến tính và đại số đa tuyến; Lý thuyết ma trận, 16-Vành kết hợp và đại số, 17-Vành không kết hợp và đại số, 18-Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19-Thuyết K và 20-Lý thuyết nhóm. Đại số cũng được sử dụng rộng rãi trong 11-Lý thuyết số và 14-Hình học đại số.
Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]
Lịch sử ban đầu của đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Một trang trong tác phẩm al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala của Al-Khwārizmī
Cội nguồn của đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại,[9] vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong cách thuật toán. Người Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay thường được giải quyết bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, và phương trình tuyến tính không xác định. Ngược lại, hầu hết người Ai Cập của thời đại này, cũng như các nhà toán học Hy Lạp và Trung Quốc trong thiên niên kỷ 1 TCN, thường giải các phương trình như vậy bằng phương pháp hình học, chẳng hạn như những mô tả trong sách toán viết trên giấy lau sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật. Lời giải bằng hình học của người Hy Lạp, tiêu biểu trong cuốn Cơ sở, cung cấp một khuôn khổ cho việc khái quát công thức không chỉ dành cho lời giải của các bài toán cụ thể mà còn đưa chúng vào một hệ thống chung hơn để mô tả và giải phương trình, mặc dù điều này sẽ không được thực hiện cho đến khi toán học phát triển trong Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.[10]
Đến thời của Plato, toán học Hy Lạp đã trải qua một sự thay đổi mạnh mẽ. Người Hy Lạp cổ đại tạo ra một dạng đại số hình học, trong đó các từ ngữ được đại diện bằng các bên của các đối tượng hình học, thường là các dòng kẻ với các chữ cái liên kết ở bên cạnh.[7]Diophantus (thế kỷ 3) là một nhà toán học Hy Lạp ở Alexandria và là tác giả của một loạt các cuốn sách có tên Arithmea. Những cuốn sách này tập trung vào việc giải quyết phương trình đại số,[11] và đã đưa lý thuyết số đến với phương trình Diophantos.
Các phương pháp đại số hình học đã thảo luận ở trên có ảnh hưởng trực tiếp đến nhà toán học người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780–850). Ông sau đó đã viết cuốn sách Cách tính toán dựa trên khôi phục và cân bằng. Cuốn sách này đã chính thức đưa đại số thành một phân nhánh độc lập của toán học, tách rời đại số khỏi hình học và số học.[12]
Các nhà toán học thời Hellenis Hero của Alexandria và Diophantus[13] cũng như các nhà toán học Ấn Độ như Brahmagupta tiếp tục truyền thống của Ai Cập và Babylon, mặc dù tác phẩm của Arithmea của Diophantus và tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta ở đẳng cấp cao hơn.[14] Ví dụ, giải pháp số học đầy đủ đầu tiên (bao gồm cả các nghiệm là số không và số âm) của phương trình bậc haiđược Brahmagupta mô tả trong cuốn sách Brahmasphutasiddhanta. Sau đó, các nhà toán học Ba Tư và Ả Rập phát triển phương pháp đại số ở một mức độ tinh tế cao hơn nhiều. Mặc dù Diophantus và người Babylon sử dụng phương pháp tại chỗ đặc biệt để giải quyết các phương trình, đóng góp của Al-Khwarizmi là cơ bản. Ông đã giải quyết phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai mà không dùng biểu tượng đại số, số âm hoặc số không, do đó ông đã phải tách biệt phương trình bậc hai tổng quát thành một số loại phương trình khác nhau.[15]
Trong bối cảnh đại số được xác định với các lý thuyết của phương trình, nhà toán học người Hy Lạp Diophantus được biết đến như là "cha đẻ của đại số" nhưng trong thời gian gần đây có nhiều cuộc tranh luận về việc liệu al-Khwarizmi, người sáng lập ra phép biến đổi al-jabr (khôi phục), xứng đáng hơn với danh hiệu trên.[16] Những người ủng hộ Diophantus chỉ ra thực tế là các phép biến đổi đại số trong Al-Jabr có phần sơ cấp hơn khi so sánh với các phép biến đổi đại số trong Arithmea và Arithmea ngắn gọn hơn trong khi Al-Jabrhoàn toàn dùng ngôn ngữ thường.[17] Những người ủng hộ Al-Khwarizmi chỉ ra thực tế là ông đã giới thiệu phương pháp "giảm" và "cân bằng" (bỏ đi hoặc trừ đi cả hai vế của phương trình cho cùng một số), từ đó có thuật ngữ al-jabr,[18] và ông đã giải thích đầy đủ về cách giải phương trình bậc hai,[19] kèm theo là các chứng minh bằng hình học, trong khi coi đại số là một ngành độc lập của riêng nó.[20] Đại số của ông cũng đã không còn liên quan "với một loạt các bài toán cần được giải quyết, mà đã trở thành một cuộc triển lãm bắt đầu với các khái niệm nguyên thủy, trong đó các trường hợp đưa ra phải bao gồm tất cả khả năng có thể cho phương trình, điều này đã chỉ rõ đối tượng thực sự của việc nghiên cứu". Ông cũng nghiên cứu phương trình không phụ thuộc vào bài toán và "một cách chung chung, phương trình không chỉ đơn giản là xuất hiện trong quá trình giải quyết một bài toán, nhưng nó được tạo ra để giải quyết vô số bài toán cùng loại".[21]
Một nhà toán học người Ba Tư khác là Omar Khayyám đã được ghi công với việc xác định các nền tảng của hình học đại số và tìm thấy cách giải bằng phương pháp hình học tổng quát của phương trình bậc ba. Tuy nhiên, một nhà toán học người Ba Tư khác tên Sharaf al-Dīn al-Tusi, tìm thấy cách giải đại số và số học cho hàng loạt trường hợp khác nhau của phương trình bậc ba.[22] Ông cũng phát triển các khái niệm về hàm số.[23] Các nhà toán học Ấn Độ Mahavira và Bhaskara II, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji,[24] và nhà toán học Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết một số phương trình bậc ba, bốn, năm và bậc cao hơn sử dụng các phương pháp số. Trong thế kỷ 13, cách giải một phương trình bậc ba của Fibonacci là đại diện cho khởi đầu của hồi sinh trong nghiên cứu đại số ở châu Âu. Khi thế giới Hồi giáo dần suy tàn, thế giới châu Âu dần phát triển. Và từ đó đại số đã phát triển hơn nữa.
Lịch sử đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Nhà toán học người Ý Girolamo Cardano đã công bố lời giải phương trình bậc 3 và bậc 4 vào năm 1545 trong cuốn sách Ars magna của ông.
François Viète là người đã có những nghiên cứu mới về đại số vào cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất bản cuốn La Géométrie, phát kiến ra hình học giải tích và giới thiệu ký hiệu đại số hiện đại. Các sự kiện quan trọng đánh dấu sự phát triển của đại số là giải pháp đại số chung của phương trình bậc ba và bậc bốn, được phát triển vào giữa thế kỷ 16. Ý tưởng về định thức được nhà toán học Nhật Seki Kōwa phát triển vào thế kỷ 17, cùng với nghiên cứu độc lập của Gottfried Leibniz 10 năm sau đó nhằm giải quyết hệ phương trình tuyến tính sử dụng ma trận. Gabriel Cramer cũng đã nghiên cứu về ma trận và định thức trong thế kỷ 18. Hoán vị được Joseph-Louis Lagrange phân tích trong luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, tập trung vào các lời giải của phương trình đại số, trong đó ông giới thiệu đa thức giảm bậc Lagrange. Paolo Ruffini là người đầu tiên phát triển các lý thuyết về nhóm hoán vị, và cũng như những người đi trước, tập trung vào việc giải phương trình đại số.
Đại số trừu tượng đã được phát triển trong thế kỷ 19, xuất phát từ sự quan tâm tới việc giải quyết các phương trình, ban đầu tập trung vào những gì bây giờ được gọi là lý thuyết Galois, và về các vấn đề số có khả năng xây dựng.[25] George Peacock là người sáng lập tư duy tiên đề trong số học và đại số. Augustus De Morgan phát kiến ra đại số quan hệ trong cuốn sách Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs phát triển đại số của các vectơ trong không gian ba chiều, và Arthur Cayley phát triển đại số của ma trận (đây là một đại số không giao hoán).[26]
Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số[sửa | sửa mã nguồn]
Một số lĩnh vực của toán học thuộc về đại số trừu tượng có tên gắn với đại số; đại số tuyến tính là một ví dụ. Một số khác không có tên gắn với đại số, chẳng hạn như lý thuyết nhóm, lý thuyết vành và lý thuyết trường. Trong phần này sẽ liệt kê một số lĩnh vực của toán học với từ "đại số" trong tên.
Đại số sơ cấp là phần đại số thường được dạy trong các khóa học cơ bản của toán học.Đại số trừu tượng, trong đó các cấu trúc đại số như nhóm, vành và trường được định nghĩa và tìm hiểu.Đại số tuyến tính nghiên cứu tính chất của phương trình tuyến tính, không gian vectơ và ma trận.Đại số giao hoán, nghiên cứu về các vành giao hoán.Đại số máy tính, nghiên cứu cách thực hiện các phương pháp đại số như thuật toán và chương trình máy tính.Đại số đồng điều, nghiên cứu về các cấu trúc đại số mà là nền tảng cho nghiên cứu không gian tôpô.Đại số phổ quát, nghiên cứu tính chất của tất cả các cấu trúc đại số.Lý thuyết số đại số, trong đó các thuộc tính của số được nghiên cứu từ quan điểm đại số.Hình học đại số, một chi nhánh của hình học, ở dạng nguyên thuỷ của nó xác định đường cong và bề mặt như lời giải của phương trình đa thức.Tổ hợp đại số, trong đó phương pháp đại số được sử dụng để nghiên cứu các bài toán tổ hợp.Nhiều cấu trúc toán cũng được gọi là đại số:
Đại số trên một trường hoặc đại số trên một vành.Nhiều nhóm của đại số trên một trường hoặc trên một vành có một tên cụ thể:Đại số giao hoánĐại số không giao hoánĐại số LieĐại số HopfĐại số C*Đại số đối xứngĐại số ngoàiĐại số TensorTrong lý thuyết đoĐại số sigmaĐại số trên một tập hợpTrong lý thuyết phân loạiĐại số F và F-coalgebraĐại số TTrong logic,Đại số quan hệ: một tập hợp các quan hệ là đóng với các toán tử nhất định.Đại số Boole, một cấu trúc trừu tượng hóa các tính toán với giá trị luân lý sai và đúng. Các cấu trúc cũng có cùng tên.Đại số Heyting
Đại số sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]
Ký hiệu biểu thức đại số:
1 – số mũ
2 – hệ số
3 – đơn thức
4 – phép toán
5 – hằng số
x y c – biến số/hằng số
Đại số sơ cấp là hình thức cơ bản nhất của đại số. Nó được dạy cho những học sinh không có kiến thức nào về toán học ngoài các nguyên tắc cơ bản của số học. Trong số học, chỉ số và phép toán số học (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được dùng. Trong đại số, số thường được biểu diễn bằng các ký hiệu được gọi là biến số (như là a, n, x, y hoặc z). Điều này rất hữu ích vì:
Nó cho phép viết các định luật chung của số học (như a + b = b + a cho mọi a và b), và do đó là bước đầu tiên để khám phá một cách hệ thống các thuộc tính của hệ thống số thực.Nó cho phép tham chiếu đến các số "chưa biết", xây dựng các phương trình và nghiên cứu làm thế nào để giải quyết chúng. (Ví dụ, "Tìm một số x sao cho 3x + 1 = 10" hoặc đi xa hơn "Tìm một số x sao cho ax + b = c". Bước trừu tượng này dẫn đến kết luận rằng việc giải quyết các phương trình không liên quan đến bản chất của những con số cụ thể mà chỉ liên quan đến cách giải quyết các phương trình trên.)Nó cho phép mô tả các quan hệ hàm số. (Ví dụ, "Nếu bạn bán được x vé, thì lợi nhuận của bạn sẽ là 3x − 10 đồng, hoặc f(x) = 3x − 10, trong đó f là hàm số, và x là con số mà hàm số này sẽ được dùng để tính toán".)Đa thức[sửa | sửa mã nguồn]
Bài chi tiết: Đa thức
Đồ thị của một hàm đa thức bậc 3.
Một đa thức là một biểu thức gồm tổng của một số hữu hạn các đơn thức khác không, mỗi đơn thức bao gồm tích của một hằng số và một số hữu hạn các biến số với số mũ là số nguyên. Ví dụ, x2 + 2x − 3 là một đa thức của biến số x. Một biểu thức đa thức là một biểu thức có thể được viết lại như một đa thức, bằng cách sử dụng các phép giao hoán, kết hợp và phân phối phép cộng và phép nhân. Ví dụ, (x − 1)(x + 3) là một biểu thức đa thức, nếu nói cho đúng thì nó không phải là đa thức. Một hàm đa thức là một hàm được định nghĩa bằng một đa thức hoặc một biểu thức đa thức.. Hai ví dụ trên định nghĩa cùng một hàm đa thức..
Hai vấn đề quan trọng và có liên quan trong đại số là các nhân tử của đa thức, nghĩa là thể hiện một đa thức như là một tích của các đa thức khác mà không thể giảm bậc hơn nữa, và việc tính toán các ước chung lớn nhất của đa thức. Ví dụ đa thức trên có thể được viết thành nhân tử như (x − 1)(x + 3). Một nhóm các bài toán có liên quan là tìm nghiệm số của một đa thức một biến số bằng căn thức.
Giáo dục[sửa | sửa mã nguồn]
Môn đại số sơ cấp được gợi ý là cần phải được dạy cho học sinh ở độ tuổi mười một,[27] mặc dù trong những năm gần đây môn này bắt đầu được dạy ở cấp lớp tám (≈ 13 tuổi) ở Mỹ.[28]
Tại Việt Nam, môn đại số được dạy như một phân môn của môn Toán trong ba lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và chính thức cùng với môn Hình học được dạy như một môn độc lập (Đại số & Hình học) từ năm lớp 10 (15 tuổi).
Kể từ năm 1997, Virginia Tech và một số trường đại học khác tại Mỹ đã bắt đầu sử dụng một mô hình cá nhân cho việc giảng dạy đại số kết hợp thông tin phản hồi ngay lập tức từ phần mềm máy tính chuyên ngành với phương pháp dạy một thầy một trò và dạy kèm nhóm nhỏ, điều này đã làm giảm chi phí và tăng thành tích cho học sinh.[29]
Đại số trừu tượng[sửa | sửa mã nguồn]
Bài chi tiết: Đại số trừu tượng và Cấu trúc đại số
Đại số trừu tượng mở rộng các khái niệm quen thuộc trong đại số sơ cấp và số học với các con số đến những khái niệm tổng quát hơn. Dưới đây là liệt kê các khái niệm cơ bản trong đại số trừu tượng.
Tập hợp: Thay vì chỉ xem xét các loại số khác nhau, đại số trừu tượng làm việc với các khái niệm tổng quát hơn - tập hợp: một loạt của tất cả các đối tượng (gọi là phần tử) được lựa chọn theo một đặc điểm nào đó. Tất cả các nhóm các loại số quen thuộc đều là các tập hợp. Ví dụ khác về tập hợp bao gồm tập hợp của tất cả ma trận hai-nhân-hai, tập hợp tất cả các đa thức bậc hai (ax2 + bx + c), tập hợp của tất cả các vectơ hai chiều trong một mặt phẳng, và hàng loạt nhóm hữu hạn như các nhóm cyclic, đó là nhóm các số nguyên đồng dư modulo n. Lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic và về mặt lý thuyết không phải là một nhánh của đại số.
Phép toán hai ngôi: Dấu của phép cộng (+) được trừu tượng hóa để dùng cho phép toán hai ngôi, chẳng hạn phép ∗. Các khái niệm về phép toán hai ngôi là vô nghĩa nếu tập hợp mà trên đó các phép toán trên được định nghĩa. Đối với hai phần tử a và b trong một tập S, a ∗ b cũng là một phần tử cúa S; điều kiện này được gọi là tính đóng của tập hợp đối với phép toán. Phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (×,.), và phép chia (÷, ː) có thể là phép toán hai ngôi khi xác định trên các tập hợp khác nhau, cũng như phép cộng và phép nhân các ma trận, vectơ và đa thức.
Phần tử đơn vị: Những con số 0 và 1 được trừu tượng hóa để tạo ra khái niệm về một phần tử đơn vị cho một phép toán. 0 là phần tử đơn vị cho phép cộng và 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân. Đối với một phép toán hai ngôi ∗ phần tử đơn vị e phải thỏa mãn a ∗ e = a và e ∗ a = a, và nếu nó tồn tại thì nó phải là duy nhất. Điều này đúng với phép cộng vì a + 0 = a và 0 + a = a và phép nhân khi a × 1 = a và 1 × a = a. Không phải tất cả các tập hợp và phép toán hai ngôi đều có phần tử đơn vị; Ví dụ, tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3,...) không có phần tử đơn vị cho phép cộng.
Phần tử nghịch đảo: Các số âm đã đưa ra khái niệm các phần tử nghịch đảo. Đối với phép cộng, phần tử nghịch đảo của a được viết là -a, và cho phép nhân phần tử này được viết là a−1. Một yếu tố đảo ngược tổng quát a−1 thỏa mãn thuộc tính: a * a−1 = e và a−1 * a = e, trong đó e là phần tử đơn vị.
Tính kết hợp: Phép cộng các số nguyên có một thuộc tính được gọi là kết hợp. Nghĩa là, việc nhóm các số được thêm vào không ảnh hưởng đến tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói chung, điều này trở thành (a * b) * c = a * (b * c). Thuộc tính này là đúng với hầu hết các phép toán nhị phân, trừ phép trừ hoặc phép chia hoặc phép nhân octonon.
Tính giao hoán: Phép cộng và phép nhân của số thực đều là giao hoán. Điều này nghĩa là thứ tự của các số không ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói chung, điều này sẽ trở thành a * b = b * a. Thuộc tính này không đúng cho tất cả các phép toán nhị phân. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép chia bậc bốn đều không giao hoán.
I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"
1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;
2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.
3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.
Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.
Toán!!!
Lôgic toán là một ngành con của toán học có liên hệ gần gũi với cơ sở toán học, khoa học máy tính lý thuyết, logic triết học. Ngành này bao gồm cả hai phần: Nghiên cứu toán học về logic và những ứng dụng của logic hình thức trong các ngành khác của toán học. Các chủ đề thống nhất trong logic toán học bao gồm các nghiên cứu về sức mạnh ý nghĩa của các hệ thống hình thức và sức mạnh suy diễn của hệ thống chứng minh chính thức.
Ngành này thường được chia thành các lĩnh vực con như lý thuyết mô hình (model theory), lý thuyết chứng minh (proof theory), lý thuyết tập hợp và lý thuyết đệ quy (recursion theory). Nghiên cứu về lôgic toán thường đóng vai trò quan trọng trong ngành cơ sở toán học (foundations of mathemas).
Các tên gọi cũ của lôgic toán là lôgic ký hiệu (để đối lập với lôgic triết học) hay mêta toán học.
Lôgic toán không phải là lôgic của toán học mà là toán học của lôgic. Ngành này bao gồm những phần của lôgic mà có thể được mô hình hóa và nghiên cứu bằng toán học. Nó cũng bao gồm những lĩnh vực thuần túy toán học như lý thuyết mô hình và lý thuyết đệ quy, trong đó, khả năng định nghĩa là trung tâm của vấn đề được quan tâm.logic toán học thể hiện ở cách làm bài. Một bài toán được coi là lôgic thì phải đảm bảo sự chặt chẽ, cách lập luận hợp lý và tuân thủ theo từng bước của bài toán.
thêm lý thuyết đồ thị:
Trong toán học và tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu các tính chất của đồ thị. Một cách không chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bởi các cạnh (hoặc cung). Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng. Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm (các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh).Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị. Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website, tồn tại một cạnh có hướng nối từ trang A tới trang B khi và chỉ khi A có chứa 1 liên kết tới B. Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trong các mối quan tâm chính của khoa học máy tính.Cấu trúc đồ thị có thể được mở rộng bằng cách gán trọng số cho mỗi cạnh. Có thể sử dụng đồ thị có trọng số để biểu diễn nhiều khái niệm khác nhau. Ví dụ, nếu đồ thị biểu diễn một mạng đường giao thông, các trọng số có thể là độ dài của mỗi con đường. Một cách khác để mở rộng đồ thị cơ bản là quy định hướng cho các cạnh của đồ thị (như đối với các trang web, A liên kết tới B, nhưng B không nhất thiết cũng liên kết tới A). Loại đồ thị này được gọi là đồ thị có hướng. Một đồ thị có hướng với các cạnh có trọng số được gọi là một lưới.Các lưới có nhiều ứng dụng trong khía cạnh thực tiễn của lý thuyết đồ thị, chẳng hạn, phân tích lưới có thể dùng để mô hình hoá và phân tích mạng lưới giao thông hoặc nhằm "phát hiện" hình dáng của Internet - (Xem thêm các ứng dụng đưới đây. Mặc dù vậy, cũng nên lưu ý rằng trong phân tích lưới, thì định nghĩa của khái niệm "lưới" có thể khác nhau và thường được chỉ ra bằng một đồ thị đơn giản.) Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]Một trong những kết quả đầu tiên trong lý thuyết đồ thị xuất hiện trong bài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở Königsberg, xuất bản năm 1736. Bài báo này cũng được xem như một trong những kết quả topo đầu tiên trong hình học, tức là, nó không hề phụ thuộc vào bất cứ độ đo nào. Nó diễn tả mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết đồ thị và tôpô học.Năm 1845, Gustav Kirchhoff đưa ra Định luật Kirchhoff cho mạch điện để tính điện thế và cường độ dòng điện trong mạch điện.Năm 1852 Francis Guthrie đưa ra bài toán bốn màu về vấn đề liệu chỉ với bốn màu có thể tô màu một bản đồ bất kì sao cho không có hai nước nào cùng biên giới được tô cùng màu. Bài toán này được xem như đã khai sinh ra lý thuyết đồ thị, và chỉ được giải sau một thế kỉ vào năm 1976 bởi Kenneth Appel và Wolfgang Haken. Trong khi cố gắng giải quyết bài toán này, các nhà toán học đã phát minh ra nhiều thuật ngữ và khái niệm nền tảng cho lý thuyết đồ thị. Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Đồ thị (toán học) Cách vẽ đồ thị[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Vẽ đồ thịĐồ thị được biểu diễn đồ họa bằng cách vẽ một điểm cho mỗi đỉnh và vẽ một cung giữa hai đỉnh nếu chúng được nối bởi một cạnh. Nếu đồ thị là có hướng thì hướng được chỉ bởi một mũi tên.Không nên lẫn lộn giữa một đồ hình của đồ thị với bản thân đồ thị (một cấu trúc trừu tượng, không đồ họa) bởi có nhiều cách xây dựng đồ hình. Toàn bộ vấn đề nằm ở chỗ đỉnh nào được nối với đỉnh nào, và bằng bao nhiêu cạnh. Trong thực hành, thường rất khó để xác định xem hai đồ hình có cùng biểu diễn một đồ thị không. Tùy vào bài toán mà đồ hình này có thể phù hợp và dễ hiểu hơn đồ hình kia. Các cấu trúc dữ liệu đồ thị[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Đồ thị (cấu trúc dữ liệu)Có nhiều cách khác nhau để lưu trữ các đồ thị trong máy tính. Sử dụng cấu trúc dữ liệu nào thì tùy theo cấu trúc của đồ thị và thuật toán dùng để thao tác trên đồ thị đó. Trên lý thuyết, người ta có thể phân biệt giữa các cấu trúc danh sách và các cấu trúc ma trận. Tuy nhiên, trong các ứng dụng cụ thể, cấu trúc tốt nhất thường là kết hợp của cả hai. Người ta hay dùng các cấu trúc danh sách cho các đồ thị thưa (sparse graph), do chúng đòi hỏi ít bộ nhớ. Trong khi đó, các cấu trúc ma trận cho phép truy nhập dữ liệu nhanh hơn, nhưng lại cần lượng bộ nhớ lớn nếu đồ thị có kích thước lớn. Các cấu trúc danh sách[sửa | sửa mã nguồn]Danh sách liên thuộc (Incidence list) - Mỗi đỉnh có một danh sách các cạnh nối với đỉnh đó. Các cạnh của đồ thị được có thể được lưu trong một danh sách riêng (có thể cài đặt bằng mảng (array) hoặc danh sách liên kết động (linked list)), trong đó mỗi phần tử ghi thông tin về một cạnh, bao gồm: cặp đỉnh mà cạnh đó nối (cặp này sẽ có thứ tự nếu đồ thị có hướng), trọng số và các dữ liệu khác. Danh sách liên thuộc của mỗi đỉnh sẽ chiếu tới vị trí của các cạnh tương ứng tại danh sách cạnh này.Danh sách kề (Adjacency list) - Mỗi đỉnh của đồ thị có một danh sách các đỉnh kề nó (nghĩa là có một cạnh nối từ đỉnh này đến mỗi đỉnh đó). Trong đồ thị vô hướng, cấu trúc này có thể gây trùng lặp. Chẳng hạn nếu đỉnh 3 nằm trong danh sách của đỉnh 2 thì đỉnh 2 cũng phải có trong danh sách của đỉnh 3. Lập trình viên có thể chọn cách sử dụng phần không gian thừa, hoặc có thể liệt kê các quan hệ kề cạnh chỉ một lần. Biểu diễn dữ liệu này thuận lợi cho việc từ một đỉnh duy nhất tìm mọi đỉnh được nối với nó, do các đỉnh này đã được liệt kê tường minh. Các cấu trúc ma trận[sửa | sửa mã nguồn]Ma trận liên thuộc (Incidence matrix) - Đồ thị được biểu diễn bằng một ma trận {\displaystyle [b_{ij}]}📷 kích thước p × q, trong đó p là số đỉnh và q là số cạnh, {\displaystyle b_{ij}=1}📷 chứa dữ liệu về quan hệ giữa đỉnh {\displaystyle v_{i}}📷 và cạnh {\displaystyle x_{j}}📷. Đơn giản nhất: {\displaystyle b_{ij}=1}📷 nếu đỉnh {\displaystyle v_{i}}📷 là một trong 2 đầu của cạnh {\displaystyle x_{j}}📷, bằng 0 trong các trường hợp khác.Ma trận kề (Adjaceny matrix) - một ma trận N × N, trong đó N là số đỉnh của đồ thị. Nếu có một cạnh nào đó nối đỉnh {\displaystyle v_{i}}📷với đỉnh {\displaystyle v_{j}}📷 thì phần tử {\displaystyle M_{i,j}}📷 bằng 1, nếu không, nó có giá trị 0. Cấu trúc này tạo thuận lợi cho việc tìm các đồ thị con và để đảo các đồ thị.Ma trận dẫn nạp (Admittance matrix) hoặc ma trận Kirchhoff (Kirchhoff matrix) hay ma trận Laplace (Laplacian matrix) - được định nghĩa là kết quả thu được khi lấy ma trận bậc (degree matrix) trừ đi ma trận kề. Do đó, ma trận này chứa thông tin cả về quan hệ kề (có cạnh nối hay không) giữa các đỉnh lẫn bậc của các đỉnh đó. Các bài toán đồ thị[sửa | sửa mã nguồn] Tìm đồ thị con[sửa | sửa mã nguồn]Một bài toán thường gặp, được gọi là bài toán đồ thị con đẳng cấu (subgraph isomorphism problem), là tìm các đồ thị con trong một đồ thị cho trước. Nhiều tính chất của đồ thị có tính di truyền, nghĩa là nếu một đồ thị con nào đó có một tính chất thì toàn bộ đồ thị cũng có tính chất đó. Chẳng hạn như một đồ thị là không phẳng nếu như nó chứa một đồ thị hai phía đầy đủ (complete bipartite graph ) {\displaystyle K_{3,3}}📷 hoặc nếu nó chứa đồ thị đầy đủ {\displaystyle K_{5}}📷. Tuy nhiên, bài toán tìm đồ thị con cực đại thỏa mãn một tính chất nào đó thường là bài toán NP-đầy đủ (NP-complete problem).Bài toán đồ thị con đầy đủ lớn nhất (clique problem) (NP-đầy đủ)Bài toán tập con độc lập (independent set problem) (NP-đầy đủ) Tô màu đồ thị[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Tô màu đồ thịĐịnh lý bốn màu (four-color theorem)Định lý đồ thị hoàn hảo mạnh (strong perfect graph theorem)Bài toán Erdős-Faber-Lovász conjecture (hiện chưa ai giải được)Bài toán total coloring conjecture (hiện chưa ai giải được)Bài toán list coloring conjecture (hiện chưa ai giải được) Các bài toán đường đi[sửa | sửa mã nguồn]Bài toán bảy cây cầu Euler (Seven Bridges of Königsberg) còn gọi là "Bảy cây cầu ở Königsberg"Cây bao trùm nhỏ nhất (Minimum spanning tree)Cây SteinerBài toán đường đi ngắn nhấtBài toán người đưa thư Trung Hoa (còn gọi là "bài toán tìm hành trình ngắn nhất")Bài toán người bán hàng (Traveling salesman problem) (NP-đầy đủ) cũng có tài liệu (tiếng Việt) gọi đây là "Bài toán người đưa thư" Luồng[sửa | sửa mã nguồn]Định lý luồng cực đại lát cắt cực tiểuReconstruction conjecture Visibility graph problems[sửa | sửa mã nguồn]Museum guard problem Các bài toán phủ[sửa | sửa mã nguồn]Bài chi tiết: Phủ (lý thuyết đồ thị)Các bài toán phủ là các thể hiện cụ thể của các bài toán tìm đồ thị con. Chúng có quan hệ chặt chẽ với bài toán đồ thị con đầy đủ hoặc bài toán tập độc lập.Bài toán phủ tập (Set cover problem)Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover problem) Các thuật toán quan trọng[sửa | sửa mã nguồn]Thuật toán Bellman-FordThuật toán DijkstraThuật toán Ford-FulkersonThuật toán KruskalThuật toán láng giềng gần nhấtThuật toán Prim Các lĩnh vực toán học có liên quanLý thuyết RamseyToán tổ hợp (Combinatorics) Ứng dụngLý thuyết đồ thị được ứng dụng nhiều trong phân tích lưới. Có hai kiểu phân tích lưới. Kiểu thứ nhất là phân tích để tìm các tính chất về cấu trúc của một lưới, chẳng hạn nó là một scale-free network hay là một small-world network. Kiểu thứ hai, phân tích để đo đạc, chẳng hạn mức độ lưu thông xe cộ trong một phần của mạng lưới giao thông (transportation network).Lý thuyết đồ thị còn được dùng trong nghiên cứu phân tử. Trong vật lý vật chất ngưng tụ, cấu trúc ba chiều phức tạp của các hệ nguyên tử có thể được nghiên cứu một cách định lượng bằng cách thu thập thống kê về các tính chất lý thuyết đồ thị có liên quan đến cấu trúc tô pô của các nguyên tử. Ví dụ, các vành đường đi
