Giả sử S là số chính phương
Ta có: S = abc + bca + cab (a,b,c khác 0 , 10 )
S = 100a + 10b + c+ 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
= (100a + a+ 10a) + ( 10b + 100b +b) + ( c + 10c + 100c)
= 111a+111b+111c = 111 ( a+b+c)
Vì a,b,c ≤ 9 nên a + b + c ≤ 27
Vì 111 = 3.37 nên S = 37.[ 3 x (a+b+c) ]
Từ a + b + c ≤ 27 => 3.(a+b+c) ≤ 81(1)
Mà 37 là số nguyên tố, S là số chính phương kết hợp với (1) nên buộc 3.(a+b+c) = 37 để S = 37 x 37 = 372
là số chính
phương.
=> 3.(a+b+c) = 37
=> a + b + c không phải là số tự nhiên.
=> S không phải là số chính phương ( dpcm)
