* Xét ∆ CAB và ∆ EMB, ta có:
CA = EM (gt)
∠ (ACB) = ∠ (MEB) = 90 0
CB = EB (tính chất hình vuông)
Suy ra: ∆ CAB = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ AB = MB (1)
Ta có: AK = DK+ DA
CD = CA + AD
Mà CA = DK nên AK = CD
* Xét ∆ CAB và ∆ KIA, ta có:
CA = KI (vì cùng bằng DK)
∠ C = ∠ K = 90 0
CB = AK (vì cùng bằng CD)
Suy ra: ∆ CAB = ∆ KIA (c.g.c)
⇒ AB = AI (2)
Ta có: DH = DK (vì KDHI là hình vuông)
Và EM = DK (gt)
Suy ra: DH = EM
⇒ DH + HE = HE + EM
Hay DE = HM
* Xét ∆ HIM và ∆ EMB, ta có: HI = EM (vì cũng bằng DK)
∠ H = ∠ E = 90 0
HM = EB (vì cùng bằng DE)
Suy ra: ∆ HIM = ∆ EMB (c.g.c)
⇒ IM = MB (3)
Từ (1) , (2) và (3) suy ra: AB = BM = AI = IM
Tứ giác ABMI là hình thoi.
Mặt khác, ta có ∆ ACB = ∆ MEB (chứng minh trên)
⇒ ∠ (CBA) = ∠ (EBM)
Mà ∠ (CBA) + ∠ (ABE) = ∠ (CBE) = 90 0
Suy ra: ∠ (EBM) + ∠ (ABE) = 90 0 hay ∠ (ABM) = 90 0
Vậy tứ giác ABMI là hình vuông.
