Question

Cho hình vuông có cạnh bằng a, M,N,P ,là 3 điểm tương ứng trên ba cạnh BC,CD,AD sao cho tam giác MNP đều. a, Chứng minh CN^2-AP^2= 2BM*DP b, Xác định M,N,P sao cho diên tich tam giác MNP nhỏ nhất.

Answer 1

a) Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại Q.

Áp dụng ĐL Pytagore cho \(\Delta\)MCN vuông ở C và \(\Delta\)MQP vuông ở Q; ta có:

CM² + CN² = MN²;  MQ² + PQ² = MP²

\(\Delta\)MNP là tam giác đều nên MN = MP. Do đó: CM² + CN² = MQ² + PQ² (1)

Dễ thấy: Tứ giác ABMQ là hình chữ nhật => AQ = BM và MQ = AB = a      (2)

(1); (2) => CM² + CN² = a² + PQ² <=> (a - BM)² + CN² = a² + (AP - AQ)²

<=> a² - 2a.BM + BM² + CN² = a² + AP² - 2.AP.AQ + AQ²

<=> CN² - AP² = a² - 2.AP.AQ + AQ² - a² + 2a.BM - BM²

<=> CN² - AP² = 2a.BM - 2.AP.AQ + (AQ² - BM²)

<=> CN² - AP² = 2a.BM - 2.AP.BM   (Do AQ = BM theo cmt)

<=> CN² - AP² = 2.BM.(a - AP) <=> CN² - AP² = 2.BM.DP (đpcm).

b) Hạ đường cao NH của \(\Delta\)MNP: 

Ta có: cos 60⁰ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=> NH = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).MN = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).MP (Vì \(\Delta\)MNP đều)

Theo quan hệ đường xiên hình chiếu: MP > MQ = a => NH > \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).a

=> S_MNP = MP.NH /2 > \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a² 

Vậy Min S_MNP = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)a² .Dấu "=" xảy ra <=> N là trung điểm của DC và M;P nằm trên BC;AD cho ^CNM = ^DNP = 60⁰.

Answer 2

\(\sin60^0=\frac{\sqrt{3}}{2}\) mới đúng, bn sửa lại nhé.

Answer 3

Cảm ơn bạn nhiều lắm vì đây là bài thi chọn đội tuyển HSG dự thi cấp thị xã, nhờ hình vẽ của bạn mà mình đã biết cách vẽ đường phụ để hoàn thành bài, mình không biết nói gì nữa, cảm ơn bạn rất nhiều.