Question

Cho hình vuông ABCD và điểm M thuộc cạnh BC. AM cắt DC tại N.

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{AB^2}\)= \(\dfrac{1}{AM^2}\)+\(\dfrac{1}{AN^2}\)

Answer 1

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt tia BC tại E.

Tam giác AEM vuông tại A có \(AB\perp EM\)

Ta có: \(S_{AEM}=\dfrac{1}{2}AE.AM=\dfrac{1}{2}AB.ME\)

\(\Rightarrow AE.AM=AB.ME\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB}=\dfrac{ME}{AE.AM}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}\left(1\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác vuông AEM:

\(AE^2+AM^2=ME^2\)

Thay vào (1) ta có:

\(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{ME^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{AE^2+AM^2}{AE^2.AM^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AM^2}\)

Mà AE = AN nên: \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}\)