Ta có : \(\widehat{ADC}=\widehat{ADE}+\widehat{EDC}\)
=> \(90^{^O}=\widehat{ADE}+15^{^O}\)
=> \(\widehat{ADE}=75^{^O}\)
Tương tự ta cũng có : \(\widehat{BCE}=75^o\)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BCE\) có :
AD = BC (do ABCD à hình vuông)
\(\widehat{ADE}=\widehat{BCE}\left(=75^o\right)\)
\(DE=EC\) (do tam giác ECD cân tại E- gt)
=> \(\Delta ADE\) = \(\Delta BCE\) (c.g.c)
=> AE = BE (2 cạnh tương ứng)
Mà : AD = AE
=> \(\Delta ADE\) cân tại A
Xét \(\Delta ADE\) ta có :
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=75^o\) (tính chất tam giác cân)
=> \(\widehat{DAE}=180^{^O}-\left(\widehat{ADE}+\widehat{AED}\right)\)
=> \(\widehat{DAE}=180^{^O}-2.75^{^O}=30^{^O}\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\widehat{CBE}=30^o\)
Có : \(\widehat{ABE}=\widehat{ABC}-\widehat{CBE}=90^{^O}-30^{^O}=60^{^O}\)
\(\widehat{BAE}=\widehat{BAD}-\widehat{EAD}=90^{^O}-30^{^O}=60^{^O}\)
Xét \(\Delta ABE\) có :
\(\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180^{^O}\)
=> \(\widehat{AEB}=180^{^O}-2.60^{^O}=60^{^O}\)
Thấy : \(\widehat{ABE}=\widehat{BAE}=\widehat{AEB}=60^o\)
=> \(\Delta ABE\) là tam giác đều (đpcm)
