Question

Cho hình vuông ABCD có cạnh = a và E là điểm bất kỳ trên cạnh BC (E khác B và C). AE cắt DC tại F. Ax vuông góc vs AE và cắt CD tại I.

a, CM \(\widehat{AEI}=45^0\)

b, CM \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\)

c CM \(S_{AEI}\ge\frac{1}{2}a^2\)

Answer 1

a, Ta có: BAE + DAE = BAD  => BAE + DAE = 90^o   

và IAD + DAE = IAE  => IAD + DAE = 90^o 

=> BAE = IAD

Xét △ABE vuông tại B và △ADI vuông tại D

Có: AB = AD (ABCD là hình vuông)

      BAE = DAI (cmt)

=> △ABE = △ADI (cgv-gnk)

=> AE = AI (2 cạnh tương ứng)

=> △AEI cân tại A

Mà IAE = 90^o

=> △AEI vuông cân tại A

=> AEI = 45^o

b, Xét △ABE có: AB² + BE² = AE² (định lý Pytago)

Vì AB // CD (ABCD là hình vuông) => \(\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{EC}\)(định lý Thales)  \(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{AB}\) (BC = AB <= ABCD là hình vuông )\(\Rightarrow AF=\frac{AE.AB}{BE}\) 

Ta có: \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{\left(\frac{AE.AB}{BE}\right)^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AB^2}{AE^2.AB^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}\)

\(=\frac{AB^2+BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)

c, Xét △ABE vuông tại B có: AE > AB (quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) => AE² > AB²  \(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE^2>\frac{1}{2}.AB^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE.AI>\frac{1}{2}.a^2\)\(\Rightarrow S_{\text{△}AEI}>\frac{1}{2}a^2\)