Question

Cho hình thanh ABCD có AB // CD; AB > CD và 2 đường chéo AC và BD vuông góc. Trên cạnh đáy AB ta lấy điểm M sao cho AM có độ dài bằng độ dài đường trung bình hình thang. Chứng minh CA là phân giác góc MCD

Answer 1

Qua C dựng đường thẳng song song với BD cắt đường thẳng AB tại điểm N.

Xét tứ giác DCNB có: CN // BD; BN // CD => Tứ giác DCNB là hình bình hành

=> DC = BN => (DC + AB)/2 = (BN + AB)/2 = AN/2 (1)

Ta có: M thuộc [AN]; AM = (DC + AB)/2                    (2)

(1); (2) => AM = AN/2 => M là trung điểm của AN  = >CM là trung tuyến $\Delta$ACN

Lại có: AC vuông góc BD; BD // CN => AC vuông góc CN (Qh //; vuông góc)

Xét $\Delta$ACN vuông đỉnh C có trung tuyến CM (cmt) => CM = AM => $\Delta$CAM cân tại M

=> ^MAC = ^MCA. Mà ^MAC = ^DCA (Do AB//CD) nên ^MCA = ^DCA 

Vậy nên  CA là phân giác ^MCD (đpcm).